Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61421 / 53298
↖ ↑ ↗
← N 31.835566°
W 11.302185°		 ← 259.43 m → N 31.835566°
W 11.299439°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
N 31.833233°
W 11.302185°		 ← 259.43 m →
67 319 m²		 N 31.833233°
W 11.299439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61421 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468608856201172 y=0.406635284423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468608856201172 × 217)
    floor (0.468608856201172 × 131072)
    floor (61421.5)     		tx = 61421
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406635284423828 × 217)
    floor (0.406635284423828 × 131072)
    floor (53298.5)     		ty = 53298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61421 / 53298 ti = "17/61421/53298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61421/53298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61421 ÷ 217
    61421 ÷ 131072     		x = 0.468605041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53298 ÷ 217
    53298 ÷ 131072     		y = 0.406631469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468605041503906 × 2 - 1) × π
    -0.0627899169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19726034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406631469726562 × 2 - 1) × π
    0.186737060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.586651777550247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19726034} λ = -0.19726034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586651777550247))-π/2
    2×atan(1.79795836150062)-π/2
    2×1.06321588621568-π/2
    2.12643177243136-1.57079632675     		φ = 0.55563545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19726034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.302185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55563545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.835566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61421 KachelY 53298 -0.19726034 0.55563545 -11.302185 31.835566
    Oben rechts KachelX + 1 61422 KachelY 53298 -0.19721241 0.55563545 -11.299439 31.835566
    Unten links KachelX 61421 KachelY + 1 53299 -0.19726034 0.55559472 -11.302185 31.833233
    Unten rechts KachelX + 1 61422 KachelY + 1 53299 -0.19721241 0.55559472 -11.299439 31.833233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55563545-0.55559472) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55563545-0.55559472) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19726034--0.19721241) × cos(0.55563545) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.84956542257876 × 6371000     		do = 259.425022056467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19726034--0.19721241) × cos(0.55559472) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849586906267371 × 6371000     		du = 259.431582359233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55563545)-sin(0.55559472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84956542257876-0.849586906267371)×R²
    abs(-0.19721241--0.19726034)×2.14836886105463e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14836886105463e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14836886105463e-05×40589641000000     		ar = 67319.2654747229m²