Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61418 / 53306
↖ ↑ ↗
← N 31.816897°
W 11.310425°		 ← 259.48 m → N 31.816897°
W 11.307678°		 →
↑
259.55 m
↓
↑
259.55 m
↓
N 31.814563°
W 11.310425°		 ← 259.48 m →
67 349 m²		 N 31.814563°
W 11.307678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468585968017578 y=0.406696319580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468585968017578 × 217)
    floor (0.468585968017578 × 131072)
    floor (61418.5)     		tx = 61418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406696319580078 × 217)
    floor (0.406696319580078 × 131072)
    floor (53306.5)     		ty = 53306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61418 / 53306 ti = "17/61418/53306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61418/53306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61418 ÷ 217
    61418 ÷ 131072     		x = 0.468582153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53306 ÷ 217
    53306 ÷ 131072     		y = 0.406692504882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468582153320312 × 2 - 1) × π
    -0.062835693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19740415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406692504882812 × 2 - 1) × π
    0.186614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.586268282353287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19740415} λ = -0.19740415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586268282353287))-π/2
    2×atan(1.79726898529933)-π/2
    2×1.06305296761096-π/2
    2.12610593522193-1.57079632675     		φ = 0.55530961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19740415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.310425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55530961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.816897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61418 KachelY 53306 -0.19740415 0.55530961 -11.310425 31.816897
    Oben rechts KachelX + 1 61419 KachelY 53306 -0.19735622 0.55530961 -11.307678 31.816897
    Unten links KachelX 61418 KachelY + 1 53307 -0.19740415 0.55526887 -11.310425 31.814563
    Unten rechts KachelX + 1 61419 KachelY + 1 53307 -0.19735622 0.55526887 -11.307678 31.814563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55530961-0.55526887) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dl = 259.554539999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55530961-0.55526887) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dr = 259.554539999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19740415--0.19735622) × cos(0.55530961) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849737252622235 × 6371000     		do = 259.477492427357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19740415--0.19735622) × cos(0.55526887) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849758730306304 × 6371000     		du = 259.484050896564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55530961)-sin(0.55526887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849737252622235-0.849758730306304)×R²
    abs(-0.19735622--0.19740415)×2.14776840694597e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14776840694597e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14776840694597e-05×40589641000000     		ar = 67349.4123370241m²