Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61418 / 53294
↖ ↑ ↗
← N 31.844899°
W 11.310425°		 ← 259.40 m → N 31.844899°
W 11.307678°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
N 31.842566°
W 11.310425°		 ← 259.41 m →
67 296 m²		 N 31.842566°
W 11.307678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468585968017578 y=0.406604766845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468585968017578 × 217)
    floor (0.468585968017578 × 131072)
    floor (61418.5)     		tx = 61418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406604766845703 × 217)
    floor (0.406604766845703 × 131072)
    floor (53294.5)     		ty = 53294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61418 / 53294 ti = "17/61418/53294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61418/53294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61418 ÷ 217
    61418 ÷ 131072     		x = 0.468582153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53294 ÷ 217
    53294 ÷ 131072     		y = 0.406600952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468582153320312 × 2 - 1) × π
    -0.062835693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19740415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406600952148438 × 2 - 1) × π
    0.186798095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.586843525148727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19740415} λ = -0.19740415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586843525148727))-π/2
    2×atan(1.79830314875361)-π/2
    2×1.06329733316132-π/2
    2.12659466632263-1.57079632675     		φ = 0.55579834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19740415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.310425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55579834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.844899°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61418 KachelY 53294 -0.19740415 0.55579834 -11.310425 31.844899
    Oben rechts KachelX + 1 61419 KachelY 53294 -0.19735622 0.55579834 -11.307678 31.844899
    Unten links KachelX 61418 KachelY + 1 53295 -0.19740415 0.55575762 -11.310425 31.842566
    Unten rechts KachelX + 1 61419 KachelY + 1 53295 -0.19735622 0.55575762 -11.307678 31.842566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55579834-0.55575762) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dl = 259.427119999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55579834-0.55575762) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dr = 259.427119999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19740415--0.19735622) × cos(0.55579834) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849479489559604 × 6371000     		do = 259.398781375293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19740415--0.19735622) × cos(0.55575762) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.84950097360858 × 6371000     		du = 259.405341788101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55579834)-sin(0.55575762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849479489559604-0.84950097360858)×R²
    abs(-0.19735622--0.19740415)×2.14840489762835e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14840489762835e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14840489762835e-05×40589641000000     		ar = 67295.9297673689m²