Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61414 / 53226
↖ ↑ ↗
← N 32.003418°
W 11.321411°		 ← 259.01 m → N 32.003418°
W 11.318664°		 →
↑
258.98 m
↓
↑
258.98 m
↓
N 32.001089°
W 11.321411°		 ← 259.01 m →
67 079 m²		 N 32.001089°
W 11.318664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468555450439453 y=0.406085968017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468555450439453 × 217)
    floor (0.468555450439453 × 131072)
    floor (61414.5)     		tx = 61414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406085968017578 × 217)
    floor (0.406085968017578 × 131072)
    floor (53226.5)     		ty = 53226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61414 / 53226 ti = "17/61414/53226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61414/53226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61414 ÷ 217
    61414 ÷ 131072     		x = 0.468551635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53226 ÷ 217
    53226 ÷ 131072     		y = 0.406082153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468551635742188 × 2 - 1) × π
    -0.062896728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19759590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406082153320312 × 2 - 1) × π
    0.187835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.590103234322891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19759590} λ = -0.19759590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.590103234322891))-π/2
    2×atan(1.8041746585336)-π/2
    2×1.06468066950103-π/2
    2.12936133900207-1.57079632675     		φ = 0.55856501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19759590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.321411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55856501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.003418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61414 KachelY 53226 -0.19759590 0.55856501 -11.321411 32.003418
    Oben rechts KachelX + 1 61415 KachelY 53226 -0.19754796 0.55856501 -11.318664 32.003418
    Unten links KachelX 61414 KachelY + 1 53227 -0.19759590 0.55852436 -11.321411 32.001089
    Unten rechts KachelX + 1 61415 KachelY + 1 53227 -0.19754796 0.55852436 -11.318664 32.001089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55856501-0.55852436) × R
    4.06499999999754e-05 × 6371000     		dl = 258.981149999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55856501-0.55852436) × R
    4.06499999999754e-05 × 6371000     		dr = 258.981149999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19759590--0.19754796) × cos(0.55856501) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848016485301823 × 6371000     		do = 259.006062555488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19759590--0.19754796) × cos(0.55852436) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848038027875531 × 6371000     		du = 259.012642212005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55856501)-sin(0.55852436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848016485301823-0.848038027875531)×R²
    abs(-0.19754796--0.19759590)×2.1542573707789e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1542573707789e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1542573707789e-05×40589641000000     		ar = 67078.5399502518m²