Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61412 / 53308
↖ ↑ ↗
← N 31.812229°
W 11.326904°		 ← 259.49 m → N 31.812229°
W 11.324158°		 →
↑
259.55 m
↓
↑
259.55 m
↓
N 31.809895°
W 11.326904°		 ← 259.50 m →
67 353 m²		 N 31.809895°
W 11.324158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468540191650391 y=0.406711578369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468540191650391 × 217)
    floor (0.468540191650391 × 131072)
    floor (61412.5)     		tx = 61412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406711578369141 × 217)
    floor (0.406711578369141 × 131072)
    floor (53308.5)     		ty = 53308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61412 / 53308 ti = "17/61412/53308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61412/53308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61412 ÷ 217
    61412 ÷ 131072     		x = 0.468536376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53308 ÷ 217
    53308 ÷ 131072     		y = 0.406707763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468536376953125 × 2 - 1) × π
    -0.06292724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19769177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406707763671875 × 2 - 1) × π
    0.18658447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.586172408554047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19769177} λ = -0.19769177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586172408554047))-π/2
    2×atan(1.79709668255324)-π/2
    2×1.06301223281212-π/2
    2.12602446562424-1.57079632675     		φ = 0.55522814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19769177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.326904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55522814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.812229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61412 KachelY 53308 -0.19769177 0.55522814 -11.326904 31.812229
    Oben rechts KachelX + 1 61413 KachelY 53308 -0.19764384 0.55522814 -11.324158 31.812229
    Unten links KachelX 61412 KachelY + 1 53309 -0.19769177 0.55518740 -11.326904 31.809895
    Unten rechts KachelX + 1 61413 KachelY + 1 53309 -0.19764384 0.55518740 -11.324158 31.809895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55522814-0.55518740) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dl = 259.554539999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55522814-0.55518740) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dr = 259.554539999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19769177--0.19764384) × cos(0.55522814) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849780201308617 × 6371000     		do = 259.490607325416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19769177--0.19764384) × cos(0.55518740) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849801676172227 × 6371000     		du = 259.497164933362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55522814)-sin(0.55518740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849780201308617-0.849801676172227)×R²
    abs(-0.19764384--0.19769177)×2.14748636100381e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14748636100381e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14748636100381e-05×40589641000000     		ar = 67352.8162564535m²