Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61412 / 53227
↖ ↑ ↗
← N 32.001089°
W 11.326904°		 ← 258.96 m → N 32.001089°
W 11.324158°		 →
↑
258.98 m
↓
↑
258.98 m
↓
N 31.998760°
W 11.326904°		 ← 258.97 m →
67 066 m²		 N 31.998760°
W 11.324158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61412 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468540191650391 y=0.406093597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468540191650391 × 217)
    floor (0.468540191650391 × 131072)
    floor (61412.5)     		tx = 61412
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406093597412109 × 217)
    floor (0.406093597412109 × 131072)
    floor (53227.5)     		ty = 53227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61412 / 53227 ti = "17/61412/53227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61412/53227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61412 ÷ 217
    61412 ÷ 131072     		x = 0.468536376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53227 ÷ 217
    53227 ÷ 131072     		y = 0.406089782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468536376953125 × 2 - 1) × π
    -0.06292724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19769177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406089782714844 × 2 - 1) × π
    0.187820434570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.590055297423271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19769177} λ = -0.19769177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.590055297423271))-π/2
    2×atan(1.80408817406701)-π/2
    2×1.06466034360231-π/2
    2.12932068720462-1.57079632675     		φ = 0.55852436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19769177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.326904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55852436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.001089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61412 KachelY 53227 -0.19769177 0.55852436 -11.326904 32.001089
    Oben rechts KachelX + 1 61413 KachelY 53227 -0.19764384 0.55852436 -11.324158 32.001089
    Unten links KachelX 61412 KachelY + 1 53228 -0.19769177 0.55848371 -11.326904 31.998760
    Unten rechts KachelX + 1 61413 KachelY + 1 53228 -0.19764384 0.55848371 -11.324158 31.998760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55852436-0.55848371) × R
    4.06500000000865e-05 × 6371000     		dl = 258.981150000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55852436-0.55848371) × R
    4.06500000000865e-05 × 6371000     		dr = 258.981150000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19769177--0.19764384) × cos(0.55852436) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.848038027875531 × 6371000     		do = 258.958613709277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19769177--0.19764384) × cos(0.55848371) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.848059569047921 × 6371000     		du = 258.965191565407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55852436)-sin(0.55848371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848038027875531-0.848059569047921)×R²
    abs(-0.19764384--0.19769177)×2.15411723907266e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15411723907266e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15411723907266e-05×40589641000000     		ar = 67066.2513606876m²