Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61407 / 53215
↖ ↑ ↗
← N 32.029035°
W 11.340637°		 ← 258.93 m → N 32.029035°
W 11.337891°		 →
↑
258.92 m
↓
↑
258.92 m
↓
N 32.026706°
W 11.340637°		 ← 258.94 m →
67 043 m²		 N 32.026706°
W 11.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468502044677734 y=0.406002044677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468502044677734 × 217)
    floor (0.468502044677734 × 131072)
    floor (61407.5)     		tx = 61407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406002044677734 × 217)
    floor (0.406002044677734 × 131072)
    floor (53215.5)     		ty = 53215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61407 / 53215 ti = "17/61407/53215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61407/53215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61407 ÷ 217
    61407 ÷ 131072     		x = 0.468498229980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53215 ÷ 217
    53215 ÷ 131072     		y = 0.405998229980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468498229980469 × 2 - 1) × π
    -0.0630035400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19793146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405998229980469 × 2 - 1) × π
    0.188003540039062 × 3.1415926535     		Φ = 0.590630540218712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19793146} λ = -0.19793146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.590630540218712))-π/2
    2×atan(1.80512626133897)-π/2
    2×1.06490422030172-π/2
    2.12980844060343-1.57079632675     		φ = 0.55901211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19793146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.340637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55901211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.029035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61407 KachelY 53215 -0.19793146 0.55901211 -11.340637 32.029035
    Oben rechts KachelX + 1 61408 KachelY 53215 -0.19788352 0.55901211 -11.337891 32.029035
    Unten links KachelX 61407 KachelY + 1 53216 -0.19793146 0.55897147 -11.340637 32.026706
    Unten rechts KachelX + 1 61408 KachelY + 1 53216 -0.19788352 0.55897147 -11.337891 32.026706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55901211-0.55897147) × R
    4.06399999999252e-05 × 6371000     		dl = 258.917439999523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55901211-0.55897147) × R
    4.06399999999252e-05 × 6371000     		dr = 258.917439999523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19793146--0.19788352) × cos(0.55901211) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.847779451031738 × 6371000     		do = 258.933666188143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19793146--0.19788352) × cos(0.55897147) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.847801003712716 × 6371000     		du = 258.940248931679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55901211)-sin(0.55897147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847779451031738-0.847801003712716)×R²
    abs(-0.19788352--0.19793146)×2.1552680978143e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1552680978143e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1552680978143e-05×40589641000000     		ar = 67043.2941820432m²