Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61402 / 53244
↖ ↑ ↗
← N 31.961483°
W 11.354370°		 ← 259.07 m → N 31.961483°
W 11.351624°		 →
↑
259.11 m
↓
↑
259.11 m
↓
N 31.959153°
W 11.354370°		 ← 259.08 m →
67 128 m²		 N 31.959153°
W 11.351624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61402 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468463897705078 y=0.406223297119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468463897705078 × 217)
    floor (0.468463897705078 × 131072)
    floor (61402.5)     		tx = 61402
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406223297119141 × 217)
    floor (0.406223297119141 × 131072)
    floor (53244.5)     		ty = 53244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61402 / 53244 ti = "17/61402/53244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61402/53244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61402 ÷ 217
    61402 ÷ 131072     		x = 0.468460083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53244 ÷ 217
    53244 ÷ 131072     		y = 0.406219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468460083007812 × 2 - 1) × π
    -0.063079833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19817114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406219482421875 × 2 - 1) × π
    0.18756103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.58924037012973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19817114} λ = -0.19817114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58924037012973))-π/2
    2×atan(1.80261857226465)-π/2
    2×1.06431472433849-π/2
    2.12862944867697-1.57079632675     		φ = 0.55783312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19817114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.354370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55783312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.961483°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61402 KachelY 53244 -0.19817114 0.55783312 -11.354370 31.961483
    Oben rechts KachelX + 1 61403 KachelY 53244 -0.19812321 0.55783312 -11.351624 31.961483
    Unten links KachelX 61402 KachelY + 1 53245 -0.19817114 0.55779245 -11.354370 31.959153
    Unten rechts KachelX + 1 61403 KachelY + 1 53245 -0.19812321 0.55779245 -11.351624 31.959153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55783312-0.55779245) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dl = 259.108569999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55783312-0.55779245) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dr = 259.108569999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19817114--0.19812321) × cos(0.55783312) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.84840413777434 × 6371000     		do = 259.070409771181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19817114--0.19812321) × cos(0.55779245) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.848425665698634 × 6371000     		du = 259.076983581845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55783312)-sin(0.55779245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84840413777434-0.848425665698634)×R²
    abs(-0.19812321--0.19817114)×2.15279242937738e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15279242937738e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15279242937738e-05×40589641000000     		ar = 67128.2150796219m²