Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61401 / 53251
↖ ↑ ↗
← N 31.945171°
W 11.357117°		 ← 259.17 m → N 31.945171°
W 11.354370°		 →
↑
259.17 m
↓
↑
259.17 m
↓
N 31.942840°
W 11.357117°		 ← 259.18 m →
67 171 m²		 N 31.942840°
W 11.354370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61401 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468456268310547 y=0.406276702880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468456268310547 × 217)
    floor (0.468456268310547 × 131072)
    floor (61401.5)     		tx = 61401
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406276702880859 × 217)
    floor (0.406276702880859 × 131072)
    floor (53251.5)     		ty = 53251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61401 / 53251 ti = "17/61401/53251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61401/53251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61401 ÷ 217
    61401 ÷ 131072     		x = 0.468452453613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53251 ÷ 217
    53251 ÷ 131072     		y = 0.406272888183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468452453613281 × 2 - 1) × π
    -0.0630950927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19821908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406272888183594 × 2 - 1) × π
    0.187454223632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.58890481183239
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19821908} λ = -0.19821908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58890481183239))-π/2
    2×atan(1.8020137901213)-π/2
    2×1.06417236717372-π/2
    2.12834473434743-1.57079632675     		φ = 0.55754841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19821908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.357117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55754841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.945171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61401 KachelY 53251 -0.19821908 0.55754841 -11.357117 31.945171
    Oben rechts KachelX + 1 61402 KachelY 53251 -0.19817114 0.55754841 -11.354370 31.945171
    Unten links KachelX 61401 KachelY + 1 53252 -0.19821908 0.55750773 -11.357117 31.942840
    Unten rechts KachelX + 1 61402 KachelY + 1 53252 -0.19817114 0.55750773 -11.354370 31.942840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55754841-0.55750773) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dl = 259.172280000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55754841-0.55750773) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dr = 259.172280000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19821908--0.19817114) × cos(0.55754841) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848554814355213 × 6371000     		do = 259.170482104984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19821908--0.19817114) × cos(0.55750773) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848576337745435 × 6371000     		du = 259.17705590237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55754841)-sin(0.55750773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848554814355213-0.848576337745435)×R²
    abs(-0.19817114--0.19821908)×2.15233902228773e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15233902228773e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15233902228773e-05×40589641000000     		ar = 67170.656638073m²