Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61372 / 53241
↖ ↑ ↗
← N 31.968474°
W 11.436768°		 ← 259.10 m → N 31.968474°
W 11.434021°		 →
↑
259.11 m
↓
↑
259.11 m
↓
N 31.966144°
W 11.436768°		 ← 259.11 m →
67 137 m²		 N 31.966144°
W 11.434021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468235015869141 y=0.406200408935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468235015869141 × 217)
    floor (0.468235015869141 × 131072)
    floor (61372.5)     		tx = 61372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406200408935547 × 217)
    floor (0.406200408935547 × 131072)
    floor (53241.5)     		ty = 53241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61372 / 53241 ti = "17/61372/53241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61372/53241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61372 ÷ 217
    61372 ÷ 131072     		x = 0.468231201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53241 ÷ 217
    53241 ÷ 131072     		y = 0.406196594238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468231201171875 × 2 - 1) × π
    -0.06353759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19960925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406196594238281 × 2 - 1) × π
    0.187606811523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.58938418082859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19960925} λ = -0.19960925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58938418082859))-π/2
    2×atan(1.80287782674264)-π/2
    2×1.06437572681228-π/2
    2.12875145362456-1.57079632675     		φ = 0.55795513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19960925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.436768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55795513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.968474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61372 KachelY 53241 -0.19960925 0.55795513 -11.436768 31.968474
    Oben rechts KachelX + 1 61373 KachelY 53241 -0.19956131 0.55795513 -11.434021 31.968474
    Unten links KachelX 61372 KachelY + 1 53242 -0.19960925 0.55791446 -11.436768 31.966144
    Unten rechts KachelX + 1 61373 KachelY + 1 53242 -0.19956131 0.55791446 -11.434021 31.966144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55795513-0.55791446) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dl = 259.108569999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55795513-0.55791446) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dr = 259.108569999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19960925--0.19956131) × cos(0.55795513) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848339545581789 × 6371000     		do = 259.104733480562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19960925--0.19956131) × cos(0.55791446) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848361077715882 × 6371000     		du = 259.111309948551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55795513)-sin(0.55791446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848339545581789-0.848361077715882)×R²
    abs(-0.19956131--0.19960925)×2.15321340928387e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15321340928387e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15321340928387e-05×40589641000000     		ar = 67137.1089912227m²