Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61370 / 53163
↖ ↑ ↗
← N 32.150036°
W 11.442261°		 ← 258.54 m → N 32.150036°
W 11.439514°		 →
↑
258.54 m
↓
↑
258.54 m
↓
N 32.147711°
W 11.442261°		 ← 258.54 m →
66 842 m²		 N 32.147711°
W 11.439514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468219757080078 y=0.405605316162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468219757080078 × 217)
    floor (0.468219757080078 × 131072)
    floor (61370.5)     		tx = 61370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405605316162109 × 217)
    floor (0.405605316162109 × 131072)
    floor (53163.5)     		ty = 53163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61370 / 53163 ti = "17/61370/53163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61370/53163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61370 ÷ 217
    61370 ÷ 131072     		x = 0.468215942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53163 ÷ 217
    53163 ÷ 131072     		y = 0.405601501464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468215942382812 × 2 - 1) × π
    -0.063568115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.19970512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405601501464844 × 2 - 1) × π
    0.188796997070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.593123258998955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19970512} λ = -0.19970512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.593123258998955))-π/2
    2×atan(1.80963154634274)-π/2
    2×1.06596015925791-π/2
    2.13192031851582-1.57079632675     		φ = 0.56112399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19970512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.442261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56112399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.150036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61370 KachelY 53163 -0.19970512 0.56112399 -11.442261 32.150036
    Oben rechts KachelX + 1 61371 KachelY 53163 -0.19965719 0.56112399 -11.439514 32.150036
    Unten links KachelX 61370 KachelY + 1 53164 -0.19970512 0.56108341 -11.442261 32.147711
    Unten rechts KachelX + 1 61371 KachelY + 1 53164 -0.19965719 0.56108341 -11.439514 32.147711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56112399-0.56108341) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dl = 258.535180000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56112399-0.56108341) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dr = 258.535180000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19970512--0.19965719) × cos(0.56112399) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.846657527973222 × 6371000     		do = 258.537061456693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19970512--0.19965719) × cos(0.56108341) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.846679121442981 × 6371000     		du = 258.543655282454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56112399)-sin(0.56108341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846657527973222-0.846679121442981)×R²
    abs(-0.19965719--0.19970512)×2.15934697590514e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15934697590514e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15934697590514e-05×40589641000000     		ar = 66841.7780976573m²