Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61368 / 53242
↖ ↑ ↗
← N 31.966144°
W 11.447754°		 ← 259.11 m → N 31.966144°
W 11.445007°		 →
↑
259.11 m
↓
↑
259.11 m
↓
N 31.963814°
W 11.447754°		 ← 259.12 m →
67 139 m²		 N 31.963814°
W 11.445007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468204498291016 y=0.406208038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468204498291016 × 217)
    floor (0.468204498291016 × 131072)
    floor (61368.5)     		tx = 61368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406208038330078 × 217)
    floor (0.406208038330078 × 131072)
    floor (53242.5)     		ty = 53242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61368 / 53242 ti = "17/61368/53242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61368/53242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61368 ÷ 217
    61368 ÷ 131072     		x = 0.46820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53242 ÷ 217
    53242 ÷ 131072     		y = 0.406204223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46820068359375 × 2 - 1) × π
    -0.0635986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.19980100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406204223632812 × 2 - 1) × π
    0.187591552734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.58933624392897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19980100} λ = -0.19980100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58933624392897))-π/2
    2×atan(1.80279140444066)-π/2
    2×1.06435539317039-π/2
    2.12871078634078-1.57079632675     		φ = 0.55791446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19980100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.447754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55791446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.966144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61368 KachelY 53242 -0.19980100 0.55791446 -11.447754 31.966144
    Oben rechts KachelX + 1 61369 KachelY 53242 -0.19975306 0.55791446 -11.445007 31.966144
    Unten links KachelX 61368 KachelY + 1 53243 -0.19980100 0.55787379 -11.447754 31.963814
    Unten rechts KachelX + 1 61369 KachelY + 1 53243 -0.19975306 0.55787379 -11.445007 31.963814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55791446-0.55787379) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dl = 259.108569999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55791446-0.55787379) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dr = 259.108569999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19980100--0.19975306) × cos(0.55791446) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848361077715882 × 6371000     		do = 259.111309948551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19980100--0.19975306) × cos(0.55787379) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848382608446744 × 6371000     		du = 259.117885987957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55791446)-sin(0.55787379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848361077715882-0.848382608446744)×R²
    abs(-0.19975306--0.19980100)×2.15307308620849e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15307308620849e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15307308620849e-05×40589641000000     		ar = 67138.8129550229m²