Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61366 / 53166
↖ ↑ ↗
← N 32.143060°
W 11.453247°		 ← 258.61 m → N 32.143060°
W 11.450500°		 →
↑
258.60 m
↓
↑
258.60 m
↓
N 32.140734°
W 11.453247°		 ← 258.62 m →
66 877 m²		 N 32.140734°
W 11.450500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468189239501953 y=0.405628204345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468189239501953 × 217)
    floor (0.468189239501953 × 131072)
    floor (61366.5)     		tx = 61366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405628204345703 × 217)
    floor (0.405628204345703 × 131072)
    floor (53166.5)     		ty = 53166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61366 / 53166 ti = "17/61366/53166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61366/53166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61366 ÷ 217
    61366 ÷ 131072     		x = 0.468185424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53166 ÷ 217
    53166 ÷ 131072     		y = 0.405624389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468185424804688 × 2 - 1) × π
    -0.063629150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.19989687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405624389648438 × 2 - 1) × π
    0.188751220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.592979448300095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19989687} λ = -0.19989687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.592979448300095))-π/2
    2×atan(1.80937132067744)-π/2
    2×1.06589927772322-π/2
    2.13179855544643-1.57079632675     		φ = 0.56100223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19989687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.453247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56100223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.143060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61366 KachelY 53166 -0.19989687 0.56100223 -11.453247 32.143060
    Oben rechts KachelX + 1 61367 KachelY 53166 -0.19984893 0.56100223 -11.450500 32.143060
    Unten links KachelX 61366 KachelY + 1 53167 -0.19989687 0.56096164 -11.453247 32.140734
    Unten rechts KachelX + 1 61367 KachelY + 1 53167 -0.19984893 0.56096164 -11.450500 32.140734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56100223-0.56096164) × R
    4.0590000000007e-05 × 6371000     		dl = 258.598890000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56100223-0.56096164) × R
    4.0590000000007e-05 × 6371000     		dr = 258.598890000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19989687--0.19984893) × cos(0.56100223) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.846722314840393 × 6371000     		do = 258.61078958462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19989687--0.19984893) × cos(0.56096164) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.846743909446593 × 6371000     		du = 258.617385133199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56100223)-sin(0.56096164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846722314840393-0.846743909446593)×R²
    abs(-0.19984893--0.19989687)×2.15946062003258e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15946062003258e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15946062003258e-05×40589641000000     		ar = 66877.3159386736m²