Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61365 / 53245
↖ ↑ ↗
← N 31.959153°
W 11.455994°		 ← 259.13 m → N 31.959153°
W 11.453247°		 →
↑
259.11 m
↓
↑
259.11 m
↓
N 31.956823°
W 11.455994°		 ← 259.14 m →
67 144 m²		 N 31.956823°
W 11.453247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468181610107422 y=0.406230926513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468181610107422 × 217)
    floor (0.468181610107422 × 131072)
    floor (61365.5)     		tx = 61365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406230926513672 × 217)
    floor (0.406230926513672 × 131072)
    floor (53245.5)     		ty = 53245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61365 / 53245 ti = "17/61365/53245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61365/53245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61365 ÷ 217
    61365 ÷ 131072     		x = 0.468177795410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53245 ÷ 217
    53245 ÷ 131072     		y = 0.406227111816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468177795410156 × 2 - 1) × π
    -0.0636444091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19994481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406227111816406 × 2 - 1) × π
    0.187545776367188 × 3.1415926535     		Φ = 0.58919243323011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19994481} λ = -0.19994481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58919243323011))-π/2
    2×atan(1.80253216239023)-π/2
    2×1.06429438914852-π/2
    2.12858877829703-1.57079632675     		φ = 0.55779245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19994481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.455994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55779245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.959153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61365 KachelY 53245 -0.19994481 0.55779245 -11.455994 31.959153
    Oben rechts KachelX + 1 61366 KachelY 53245 -0.19989687 0.55779245 -11.453247 31.959153
    Unten links KachelX 61365 KachelY + 1 53246 -0.19994481 0.55775178 -11.455994 31.956823
    Unten rechts KachelX + 1 61366 KachelY + 1 53246 -0.19989687 0.55775178 -11.453247 31.956823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55779245-0.55775178) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dl = 259.108569999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55779245-0.55775178) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dr = 259.108569999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19994481--0.19989687) × cos(0.55779245) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848425665698634 × 6371000     		do = 259.131036780978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19994481--0.19989687) × cos(0.55775178) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.84844719221959 × 6371000     		du = 259.137611534571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55779245)-sin(0.55775178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848425665698634-0.84844719221959)×R²
    abs(-0.19989687--0.19994481)×2.15265209563276e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15265209563276e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15265209563276e-05×40589641000000     		ar = 67143.9241797404m²