Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61363 / 53159
↖ ↑ ↗
← N 32.159338°
W 11.461487°		 ← 258.51 m → N 32.159338°
W 11.458741°		 →
↑
258.54 m
↓
↑
258.54 m
↓
N 32.157013°
W 11.461487°		 ← 258.52 m →
66 835 m²		 N 32.157013°
W 11.458741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61363 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468166351318359 y=0.405574798583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468166351318359 × 217)
    floor (0.468166351318359 × 131072)
    floor (61363.5)     		tx = 61363
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405574798583984 × 217)
    floor (0.405574798583984 × 131072)
    floor (53159.5)     		ty = 53159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61363 / 53159 ti = "17/61363/53159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61363/53159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61363 ÷ 217
    61363 ÷ 131072     		x = 0.468162536621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53159 ÷ 217
    53159 ÷ 131072     		y = 0.405570983886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468162536621094 × 2 - 1) × π
    -0.0636749267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20004068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405570983886719 × 2 - 1) × π
    0.188858032226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.593315006597435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20004068} λ = -0.20004068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.593315006597435))-π/2
    2×atan(1.8099785721155)-π/2
    2×1.06604132739022-π/2
    2.13208265478043-1.57079632675     		φ = 0.56128633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20004068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.461487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56128633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.159338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61363 KachelY 53159 -0.20004068 0.56128633 -11.461487 32.159338
    Oben rechts KachelX + 1 61364 KachelY 53159 -0.19999275 0.56128633 -11.458741 32.159338
    Unten links KachelX 61363 KachelY + 1 53160 -0.20004068 0.56124575 -11.461487 32.157013
    Unten rechts KachelX + 1 61364 KachelY + 1 53160 -0.19999275 0.56124575 -11.458741 32.157013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56128633-0.56124575) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dl = 258.535180000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56128633-0.56124575) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dr = 258.535180000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20004068--0.19999275) × cos(0.56128633) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.846571129506811 × 6371000     		do = 258.510678645601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20004068--0.19999275) × cos(0.56124575) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.846592728553931 × 6371000     		du = 258.517274174476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56128633)-sin(0.56124575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846571129506811-0.846592728553931)×R²
    abs(-0.19999275--0.20004068)×2.15990471199579e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15990471199579e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15990471199579e-05×40589641000000     		ar = 66834.9574329033m²