Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61360 / 53167
↖ ↑ ↗
← N 32.140734°
W 11.469726°		 ← 258.56 m → N 32.140734°
W 11.466980°		 →
↑
258.60 m
↓
↑
258.60 m
↓
N 32.138409°
W 11.469726°		 ← 258.57 m →
66 865 m²		 N 32.138409°
W 11.466980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468143463134766 y=0.405635833740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468143463134766 × 217)
    floor (0.468143463134766 × 131072)
    floor (61360.5)     		tx = 61360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405635833740234 × 217)
    floor (0.405635833740234 × 131072)
    floor (53167.5)     		ty = 53167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61360 / 53167 ti = "17/61360/53167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61360/53167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61360 ÷ 217
    61360 ÷ 131072     		x = 0.4681396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53167 ÷ 217
    53167 ÷ 131072     		y = 0.405632019042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4681396484375 × 2 - 1) × π
    -0.063720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20018449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405632019042969 × 2 - 1) × π
    0.188735961914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.592931511400475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20018449} λ = -0.20018449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.592931511400475))-π/2
    2×atan(1.80928458710495)-π/2
    2×1.0658789828431-π/2
    2.1317579656862-1.57079632675     		φ = 0.56096164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20018449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.469726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56096164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.140734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61360 KachelY 53167 -0.20018449 0.56096164 -11.469726 32.140734
    Oben rechts KachelX + 1 61361 KachelY 53167 -0.20013656 0.56096164 -11.466980 32.140734
    Unten links KachelX 61360 KachelY + 1 53168 -0.20018449 0.56092105 -11.469726 32.138409
    Unten rechts KachelX + 1 61361 KachelY + 1 53168 -0.20013656 0.56092105 -11.466980 32.138409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56096164-0.56092105) × R
    4.0590000000007e-05 × 6371000     		dl = 258.598890000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56096164-0.56092105) × R
    4.0590000000007e-05 × 6371000     		dr = 258.598890000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20018449--0.20013656) × cos(0.56096164) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.846743909446593 × 6371000     		do = 258.563439078756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20018449--0.20013656) × cos(0.56092105) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.846765502657742 × 6371000     		du = 258.570032825547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56096164)-sin(0.56092105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846743909446593-0.846765502657742)×R²
    abs(-0.20013656--0.20018449)×2.15932111490291e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15932111490291e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15932111490291e-05×40589641000000     		ar = 66865.0709172495m²