Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61356 / 53152
↖ ↑ ↗
← N 32.175613°
W 11.480713°		 ← 258.52 m → N 32.175613°
W 11.477966°		 →
↑
258.54 m
↓
↑
258.54 m
↓
N 32.173288°
W 11.480713°		 ← 258.53 m →
66 837 m²		 N 32.173288°
W 11.477966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468112945556641 y=0.405521392822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468112945556641 × 217)
    floor (0.468112945556641 × 131072)
    floor (61356.5)     		tx = 61356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405521392822266 × 217)
    floor (0.405521392822266 × 131072)
    floor (53152.5)     		ty = 53152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61356 / 53152 ti = "17/61356/53152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61356/53152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61356 ÷ 217
    61356 ÷ 131072     		x = 0.468109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53152 ÷ 217
    53152 ÷ 131072     		y = 0.405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.06378173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20037624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405517578125 × 2 - 1) × π
    0.18896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.593650564894775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20037624} λ = -0.20037624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.593650564894775))-π/2
    2×atan(1.810586027356)-π/2
    2×1.06618335168806-π/2
    2.13236670337612-1.57079632675     		φ = 0.56157038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20037624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.480713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56157038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.175613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61356 KachelY 53152 -0.20037624 0.56157038 -11.480713 32.175613
    Oben rechts KachelX + 1 61357 KachelY 53152 -0.20032830 0.56157038 -11.477966 32.175613
    Unten links KachelX 61356 KachelY + 1 53153 -0.20037624 0.56152980 -11.480713 32.173288
    Unten rechts KachelX + 1 61357 KachelY + 1 53153 -0.20032830 0.56152980 -11.477966 32.173288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56157038-0.56152980) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dl = 258.535180000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56157038-0.56152980) × R
    4.05800000000678e-05 × 6371000     		dr = 258.535180000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20037624--0.20032830) × cos(0.56157038) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.846419902469899 × 6371000     		do = 258.518425062727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20037624--0.20032830) × cos(0.56152980) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.846441511274485 × 6371000     		du = 258.525024947858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56157038)-sin(0.56152980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846419902469899-0.846441511274485)×R²
    abs(-0.20032830--0.20037624)×2.16088045857932e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16088045857932e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16088045857932e-05×40589641000000     		ar = 66836.9607174867m²