Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61345 / 53153
↖ ↑ ↗
← N 32.173288°
W 11.510926°		 ← 258.53 m → N 32.173288°
W 11.508179°		 →
↑
258.47 m
↓
↑
258.47 m
↓
N 32.170963°
W 11.510926°		 ← 258.53 m →
66 822 m²		 N 32.170963°
W 11.508179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.468029022216797 y=0.405529022216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.468029022216797 × 217)
    floor (0.468029022216797 × 131072)
    floor (61345.5)     		tx = 61345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405529022216797 × 217)
    floor (0.405529022216797 × 131072)
    floor (53153.5)     		ty = 53153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61345 / 53153 ti = "17/61345/53153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61345/53153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61345 ÷ 217
    61345 ÷ 131072     		x = 0.468025207519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53153 ÷ 217
    53153 ÷ 131072     		y = 0.405525207519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.468025207519531 × 2 - 1) × π
    -0.0639495849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20090355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405525207519531 × 2 - 1) × π
    0.188949584960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.593602627995155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20090355} λ = -0.20090355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.593602627995155))-π/2
    2×atan(1.81049923555564)-π/2
    2×1.06616306405613-π/2
    2.13232612811226-1.57079632675     		φ = 0.56152980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20090355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.510926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56152980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.173288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61345 KachelY 53153 -0.20090355 0.56152980 -11.510926 32.173288
    Oben rechts KachelX + 1 61346 KachelY 53153 -0.20085561 0.56152980 -11.508179 32.173288
    Unten links KachelX 61345 KachelY + 1 53154 -0.20090355 0.56148923 -11.510926 32.170963
    Unten rechts KachelX + 1 61346 KachelY + 1 53154 -0.20085561 0.56148923 -11.508179 32.170963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56152980-0.56148923) × R
    4.05700000000175e-05 × 6371000     		dl = 258.471470000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56152980-0.56148923) × R
    4.05700000000175e-05 × 6371000     		dr = 258.471470000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20090355--0.20085561) × cos(0.56152980) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.846441511274485 × 6371000     		do = 258.525024947708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20090355--0.20085561) × cos(0.56148923) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.846463113360731 × 6371000     		du = 258.531622780885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56152980)-sin(0.56148923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846441511274485-0.846463113360731)×R²
    abs(-0.20085561--0.20090355)×2.16020862461308e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16020862461308e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16020862461308e-05×40589641000000     		ar = 66822.1959148827m²