Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61318 / 89160
↖ ↑ ↗
← S 54.278055°
W 11.585083°		 ← 178.29 m → S 54.278055°
W 11.582337°		 →
↑
178.32 m
↓
↑
178.32 m
↓
S 54.279659°
W 11.585083°		 ← 178.28 m →
31 792 m²		 S 54.279659°
W 11.582337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61318 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467823028564453 y=0.680240631103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467823028564453 × 217)
    floor (0.467823028564453 × 131072)
    floor (61318.5)     		tx = 61318
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.680240631103516 × 217)
    floor (0.680240631103516 × 131072)
    floor (89160.5)     		ty = 89160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61318 / 89160 ti = "17/61318/89160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61318/89160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61318 ÷ 217
    61318 ÷ 131072     		x = 0.467819213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89160 ÷ 217
    89160 ÷ 131072     		y = 0.68023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467819213867188 × 2 - 1) × π
    -0.064361572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20219784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68023681640625 × 2 - 1) × π
    -0.3604736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.13246131662421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20219784} λ = -0.20219784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.13246131662421))-π/2
    2×atan(0.322239146976338)-π/2
    2×0.311732778967198-π/2
    0.623465557934395-1.57079632675     		φ = -0.94733077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20219784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.585083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94733077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.278055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61318 KachelY 89160 -0.20219784 -0.94733077 -11.585083 -54.278055
    Oben rechts KachelX + 1 61319 KachelY 89160 -0.20214991 -0.94733077 -11.582337 -54.278055
    Unten links KachelX 61318 KachelY + 1 89161 -0.20219784 -0.94735876 -11.585083 -54.279659
    Unten rechts KachelX + 1 61319 KachelY + 1 89161 -0.20214991 -0.94735876 -11.582337 -54.279659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94733077--0.94735876) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dl = 178.324289999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94733077--0.94735876) × R
    2.79899999999778e-05 × 6371000     		dr = 178.324289999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20219784--0.20214991) × cos(-0.94733077) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.58385220777017 × 6371000     		do = 178.286295384687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20219784--0.20214991) × cos(-0.94735876) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.583829483581103 × 6371000     		du = 178.279356280183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94733077)-sin(-0.94735876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58385220777017-0.583829483581103)×R²
    abs(-0.20214991--0.20219784)×2.27241890672358e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.27241890672358e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.27241890672358e-05×40589641000000     		ar = 31792.1583378591m²