Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61286 / 53171
↖ ↑ ↗
← N 32.131431°
W 11.672973°		 ← 258.59 m → N 32.131431°
W 11.670227°		 →
↑
258.66 m
↓
↑
258.66 m
↓
N 32.129105°
W 11.672973°		 ← 258.60 m →
66 888 m²		 N 32.129105°
W 11.670227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467578887939453 y=0.405666351318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467578887939453 × 217)
    floor (0.467578887939453 × 131072)
    floor (61286.5)     		tx = 61286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405666351318359 × 217)
    floor (0.405666351318359 × 131072)
    floor (53171.5)     		ty = 53171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61286 / 53171 ti = "17/61286/53171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61286/53171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61286 ÷ 217
    61286 ÷ 131072     		x = 0.467575073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53171 ÷ 217
    53171 ÷ 131072     		y = 0.405662536621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467575073242188 × 2 - 1) × π
    -0.064849853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20373182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405662536621094 × 2 - 1) × π
    0.188674926757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.592739763801994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20373182} λ = -0.20373182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.592739763801994))-π/2
    2×atan(1.80893769438939)-π/2
    2×1.06579779814707-π/2
    2.13159559629413-1.57079632675     		φ = 0.56079927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20373182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.672973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56079927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.131431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61286 KachelY 53171 -0.20373182 0.56079927 -11.672973 32.131431
    Oben rechts KachelX + 1 61287 KachelY 53171 -0.20368389 0.56079927 -11.670227 32.131431
    Unten links KachelX 61286 KachelY + 1 53172 -0.20373182 0.56075867 -11.672973 32.129105
    Unten rechts KachelX + 1 61287 KachelY + 1 53172 -0.20368389 0.56075867 -11.670227 32.129105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56079927-0.56075867) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dl = 258.662599999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56079927-0.56075867) × R
    4.05999999999462e-05 × 6371000     		dr = 258.662599999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20373182--0.20368389) × cos(0.56079927) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.846830279239158 × 6371000     		do = 258.589813133945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20373182--0.20368389) × cos(0.56075867) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.846851872187691 × 6371000     		du = 258.596406800542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56079927)-sin(0.56075867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846830279239158-0.846851872187691)×R²
    abs(-0.20368389--0.20373182)×2.1592948532545e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1592948532545e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1592948532545e-05×40589641000000     		ar = 66888.3661753645m²