Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61283 / 53225
↖ ↑ ↗
← N 32.005747°
W 11.681213°		 ← 258.95 m → N 32.005747°
W 11.678467°		 →
↑
258.98 m
↓
↑
258.98 m
↓
N 32.003418°
W 11.681213°		 ← 258.95 m →
67 063 m²		 N 32.003418°
W 11.678467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467555999755859 y=0.406078338623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467555999755859 × 217)
    floor (0.467555999755859 × 131072)
    floor (61283.5)     		tx = 61283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406078338623047 × 217)
    floor (0.406078338623047 × 131072)
    floor (53225.5)     		ty = 53225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61283 / 53225 ti = "17/61283/53225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61283/53225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61283 ÷ 217
    61283 ÷ 131072     		x = 0.467552185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53225 ÷ 217
    53225 ÷ 131072     		y = 0.406074523925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467552185058594 × 2 - 1) × π
    -0.0648956298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20387563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406074523925781 × 2 - 1) × π
    0.187850952148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.590151171222511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20387563} λ = -0.20387563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.590151171222511))-π/2
    2×atan(1.80426114714609)-π/2
    2×1.06470099488338-π/2
    2.12940198976676-1.57079632675     		φ = 0.55860566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20387563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.681213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55860566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.005747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61283 KachelY 53225 -0.20387563 0.55860566 -11.681213 32.005747
    Oben rechts KachelX + 1 61284 KachelY 53225 -0.20382770 0.55860566 -11.678467 32.005747
    Unten links KachelX 61283 KachelY + 1 53226 -0.20387563 0.55856501 -11.681213 32.003418
    Unten rechts KachelX + 1 61284 KachelY + 1 53226 -0.20382770 0.55856501 -11.678467 32.003418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55860566-0.55856501) × R
    4.06499999999754e-05 × 6371000     		dl = 258.981149999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55860566-0.55856501) × R
    4.06499999999754e-05 × 6371000     		dr = 258.981149999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20387563--0.20382770) × cos(0.55860566) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.847994941326834 × 6371000     		do = 258.945456713301m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20387563--0.20382770) × cos(0.55856501) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.848016485301823 × 6371000     		du = 258.952035425238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55860566)-sin(0.55856501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847994941326834-0.848016485301823)×R²
    abs(-0.20382770--0.20387563)×2.15439749892132e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15439749892132e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15439749892132e-05×40589641000000     		ar = 67062.844057133m²