Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61251 / 53056
↖ ↑ ↗
← N 32.398516°
W 11.769104°		 ← 257.83 m → N 32.398516°
W 11.766358°		 →
↑
257.83 m
↓
↑
257.83 m
↓
N 32.396197°
W 11.769104°		 ← 257.84 m →
66 478 m²		 N 32.396197°
W 11.766358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467311859130859 y=0.404788970947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467311859130859 × 217)
    floor (0.467311859130859 × 131072)
    floor (61251.5)     		tx = 61251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404788970947266 × 217)
    floor (0.404788970947266 × 131072)
    floor (53056.5)     		ty = 53056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61251 / 53056 ti = "17/61251/53056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61251/53056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61251 ÷ 217
    61251 ÷ 131072     		x = 0.467308044433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53056 ÷ 217
    53056 ÷ 131072     		y = 0.40478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467308044433594 × 2 - 1) × π
    -0.0653839111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20540961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40478515625 × 2 - 1) × π
    0.1904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.598252507258301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20540961} λ = -0.20540961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.598252507258301))-π/2
    2×atan(1.81893744152266)-π/2
    2×1.06812855014652-π/2
    2.13625710029304-1.57079632675     		φ = 0.56546077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20540961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.769104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56546077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.398516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61251 KachelY 53056 -0.20540961 0.56546077 -11.769104 32.398516
    Oben rechts KachelX + 1 61252 KachelY 53056 -0.20536168 0.56546077 -11.766358 32.398516
    Unten links KachelX 61251 KachelY + 1 53057 -0.20540961 0.56542030 -11.769104 32.396197
    Unten rechts KachelX + 1 61252 KachelY + 1 53057 -0.20536168 0.56542030 -11.766358 32.396197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56546077-0.56542030) × R
    4.04699999999591e-05 × 6371000     		dl = 257.83436999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56546077-0.56542030) × R
    4.04699999999591e-05 × 6371000     		dr = 257.83436999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20540961--0.20536168) × cos(0.56546077) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.844341807229663 × 6371000     		do = 257.829928269527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20540961--0.20536168) × cos(0.56542030) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.84436349056334 × 6371000     		du = 257.836549536316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56546077)-sin(0.56542030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844341807229663-0.84436349056334)×R²
    abs(-0.20536168--0.20540961)×2.16833336762479e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16833336762479e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16833336762479e-05×40589641000000     		ar = 66478.2707267502m²