Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61250 / 53055
↖ ↑ ↗
← N 32.400835°
W 11.771850°		 ← 257.88 m → N 32.400835°
W 11.769104°		 →
↑
257.90 m
↓
↑
257.90 m
↓
N 32.398516°
W 11.771850°		 ← 257.88 m →
66 507 m²		 N 32.398516°
W 11.769104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467304229736328 y=0.404781341552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467304229736328 × 217)
    floor (0.467304229736328 × 131072)
    floor (61250.5)     		tx = 61250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404781341552734 × 217)
    floor (0.404781341552734 × 131072)
    floor (53055.5)     		ty = 53055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61250 / 53055 ti = "17/61250/53055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61250/53055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61250 ÷ 217
    61250 ÷ 131072     		x = 0.467300415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53055 ÷ 217
    53055 ÷ 131072     		y = 0.404777526855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467300415039062 × 2 - 1) × π
    -0.065399169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20545755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404777526855469 × 2 - 1) × π
    0.190444946289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.598300444157921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20545755} λ = -0.20545755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.598300444157921))-π/2
    2×atan(1.81902463783416)-π/2
    2×1.0681487874508-π/2
    2.13629757490161-1.57079632675     		φ = 0.56550125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20545755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.771850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56550125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.400835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61250 KachelY 53055 -0.20545755 0.56550125 -11.771850 32.400835
    Oben rechts KachelX + 1 61251 KachelY 53055 -0.20540961 0.56550125 -11.769104 32.400835
    Unten links KachelX 61250 KachelY + 1 53056 -0.20545755 0.56546077 -11.771850 32.398516
    Unten rechts KachelX + 1 61251 KachelY + 1 53056 -0.20540961 0.56546077 -11.769104 32.398516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56550125-0.56546077) × R
    4.04800000000094e-05 × 6371000     		dl = 257.89808000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56550125-0.56546077) × R
    4.04800000000094e-05 × 6371000     		dr = 257.89808000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20545755--0.20540961) × cos(0.56550125) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.844320117154715 × 6371000     		do = 257.877096578846m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20545755--0.20540961) × cos(0.56546077) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.844341807229663 × 6371000     		du = 257.883721286037m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56550125)-sin(0.56546077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844320117154715-0.844341807229663)×R²
    abs(-0.20540961--0.20545755)×2.16900749478999e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16900749478999e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16900749478999e-05×40589641000000     		ar = 66506.8623423807m²