Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61246 / 53334
↖ ↑ ↗
← N 31.751525°
W 11.782837°		 ← 259.72 m → N 31.751525°
W 11.780090°		 →
↑
259.68 m
↓
↑
259.68 m
↓
N 31.749190°
W 11.782837°		 ← 259.72 m →
67 444 m²		 N 31.749190°
W 11.780090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467273712158203 y=0.406909942626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467273712158203 × 217)
    floor (0.467273712158203 × 131072)
    floor (61246.5)     		tx = 61246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406909942626953 × 217)
    floor (0.406909942626953 × 131072)
    floor (53334.5)     		ty = 53334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61246 / 53334 ti = "17/61246/53334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61246/53334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61246 ÷ 217
    61246 ÷ 131072     		x = 0.467269897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53334 ÷ 217
    53334 ÷ 131072     		y = 0.406906127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467269897460938 × 2 - 1) × π
    -0.065460205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20564930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406906127929688 × 2 - 1) × π
    0.186187744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.584926049163925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20564930} λ = -0.20564930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.584926049163925))-π/2
    2×atan(1.7948582494638)-π/2
    2×1.06248249314302-π/2
    2.12496498628603-1.57079632675     		φ = 0.55416866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20564930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.782837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55416866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.751525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61246 KachelY 53334 -0.20564930 0.55416866 -11.782837 31.751525
    Oben rechts KachelX + 1 61247 KachelY 53334 -0.20560136 0.55416866 -11.780090 31.751525
    Unten links KachelX 61246 KachelY + 1 53335 -0.20564930 0.55412790 -11.782837 31.749190
    Unten rechts KachelX + 1 61247 KachelY + 1 53335 -0.20560136 0.55412790 -11.780090 31.749190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55416866-0.55412790) × R
    4.0759999999973e-05 × 6371000     		dl = 259.681959999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55416866-0.55412790) × R
    4.0759999999973e-05 × 6371000     		dr = 259.681959999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20564930--0.20560136) × cos(0.55416866) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.85033821556835 × 6371000     		do = 259.715178740223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20564930--0.20560136) × cos(0.55412790) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850359664264243 × 6371000     		du = 259.721729724038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55416866)-sin(0.55412790))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85033821556835-0.850359664264243)×R²
    abs(-0.20560136--0.20564930)×2.14486958931559e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14486958931559e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14486958931559e-05×40589641000000     		ar = 67444.1972524279m²