Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61240 / 53319
↖ ↑ ↗
← N 31.786551°
W 11.799316°		 ← 259.62 m → N 31.786551°
W 11.796570°		 →
↑
259.62 m
↓
↑
259.62 m
↓
N 31.784217°
W 11.799316°		 ← 259.62 m →
67 402 m²		 N 31.784217°
W 11.796570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467227935791016 y=0.406795501708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467227935791016 × 217)
    floor (0.467227935791016 × 131072)
    floor (61240.5)     		tx = 61240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406795501708984 × 217)
    floor (0.406795501708984 × 131072)
    floor (53319.5)     		ty = 53319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61240 / 53319 ti = "17/61240/53319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61240/53319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61240 ÷ 217
    61240 ÷ 131072     		x = 0.46722412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53319 ÷ 217
    53319 ÷ 131072     		y = 0.406791687011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46722412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20593692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406791687011719 × 2 - 1) × π
    0.186416625976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.585645102658226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20593692} λ = -0.20593692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585645102658226))-π/2
    2×atan(1.79614931267598)-π/2
    2×1.06278815462308-π/2
    2.12557630924615-1.57079632675     		φ = 0.55477998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20593692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.799316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55477998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.786551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61240 KachelY 53319 -0.20593692 0.55477998 -11.799316 31.786551
    Oben rechts KachelX + 1 61241 KachelY 53319 -0.20588898 0.55477998 -11.796570 31.786551
    Unten links KachelX 61240 KachelY + 1 53320 -0.20593692 0.55473923 -11.799316 31.784217
    Unten rechts KachelX + 1 61241 KachelY + 1 53320 -0.20588898 0.55473923 -11.796570 31.784217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55477998-0.55473923) × R
    4.07499999999228e-05 × 6371000     		dl = 259.618249999508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55477998-0.55473923) × R
    4.07499999999228e-05 × 6371000     		dr = 259.618249999508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20593692--0.20588898) × cos(0.55477998) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850016357762477 × 6371000     		do = 259.616875081689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20593692--0.20588898) × cos(0.55473923) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850037822375631 × 6371000     		du = 259.623430927046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55477998)-sin(0.55473923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850016357762477-0.850037822375631)×R²
    abs(-0.20588898--0.20593692)×2.14646131548868e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14646131548868e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14646131548868e-05×40589641000000     		ar = 67402.1297969465m²