Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61234 / 53110
↖ ↑ ↗
← N 32.273200°
W 11.815796°		 ← 258.19 m → N 32.273200°
W 11.813050°		 →
↑
258.22 m
↓
↑
258.22 m
↓
N 32.270878°
W 11.815796°		 ← 258.19 m →
66 669 m²		 N 32.270878°
W 11.813050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467182159423828 y=0.405200958251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467182159423828 × 217)
    floor (0.467182159423828 × 131072)
    floor (61234.5)     		tx = 61234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405200958251953 × 217)
    floor (0.405200958251953 × 131072)
    floor (53110.5)     		ty = 53110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61234 / 53110 ti = "17/61234/53110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61234/53110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61234 ÷ 217
    61234 ÷ 131072     		x = 0.467178344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53110 ÷ 217
    53110 ÷ 131072     		y = 0.405197143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467178344726562 × 2 - 1) × π
    -0.065643310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20622454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405197143554688 × 2 - 1) × π
    0.189605712890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.595663914678818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20622454} λ = -0.20622454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.595663914678818))-π/2
    2×atan(1.81423504248245)-π/2
    2×1.06703496433571-π/2
    2.13406992867141-1.57079632675     		φ = 0.56327360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20622454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.815796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56327360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.273200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61234 KachelY 53110 -0.20622454 0.56327360 -11.815796 32.273200
    Oben rechts KachelX + 1 61235 KachelY 53110 -0.20617661 0.56327360 -11.813050 32.273200
    Unten links KachelX 61234 KachelY + 1 53111 -0.20622454 0.56323307 -11.815796 32.270878
    Unten rechts KachelX + 1 61235 KachelY + 1 53111 -0.20617661 0.56323307 -11.813050 32.270878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56327360-0.56323307) × R
    4.05300000000386e-05 × 6371000     		dl = 258.216630000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56327360-0.56323307) × R
    4.05300000000386e-05 × 6371000     		dr = 258.216630000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20622454--0.20617661) × cos(0.56327360) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.845511683199281 × 6371000     		do = 258.187163970458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20622454--0.20617661) × cos(0.56323307) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.845533323778834 × 6371000     		du = 258.19377218176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56327360)-sin(0.56323307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845511683199281-0.845533323778834)×R²
    abs(-0.20617661--0.20622454)×2.16405795526731e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16405795526731e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16405795526731e-05×40589641000000     		ar = 66669.0725739625m²