Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61231 / 53133
↖ ↑ ↗
← N 32.219772°
W 11.824035°		 ← 258.34 m → N 32.219772°
W 11.821289°		 →
↑
258.41 m
↓
↑
258.41 m
↓
N 32.217448°
W 11.824035°		 ← 258.35 m →
66 758 m²		 N 32.217448°
W 11.821289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467159271240234 y=0.405376434326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467159271240234 × 217)
    floor (0.467159271240234 × 131072)
    floor (61231.5)     		tx = 61231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405376434326172 × 217)
    floor (0.405376434326172 × 131072)
    floor (53133.5)     		ty = 53133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61231 / 53133 ti = "17/61231/53133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61231/53133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61231 ÷ 217
    61231 ÷ 131072     		x = 0.467155456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53133 ÷ 217
    53133 ÷ 131072     		y = 0.405372619628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467155456542969 × 2 - 1) × π
    -0.0656890869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20636835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405372619628906 × 2 - 1) × π
    0.189254760742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.594561365987556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20636835} λ = -0.20636835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.594561365987556))-π/2
    2×atan(1.81223586230998)-π/2
    2×1.06656871827471-π/2
    2.13313743654942-1.57079632675     		φ = 0.56234111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20636835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.824035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56234111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.219772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61231 KachelY 53133 -0.20636835 0.56234111 -11.824035 32.219772
    Oben rechts KachelX + 1 61232 KachelY 53133 -0.20632042 0.56234111 -11.821289 32.219772
    Unten links KachelX 61231 KachelY + 1 53134 -0.20636835 0.56230055 -11.824035 32.217448
    Unten rechts KachelX + 1 61232 KachelY + 1 53134 -0.20632042 0.56230055 -11.821289 32.217448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56234111-0.56230055) × R
    4.05599999999673e-05 × 6371000     		dl = 258.407759999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56234111-0.56230055) × R
    4.05599999999673e-05 × 6371000     		dr = 258.407759999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20636835--0.20632042) × cos(0.56234111) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.846009225014391 × 6371000     		do = 258.33909434913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20636835--0.20632042) × cos(0.56230055) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.846030849623033 × 6371000     		du = 258.345697683523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56234111)-sin(0.56230055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.846009225014391-0.846030849623033)×R²
    abs(-0.20632042--0.20636835)×2.16246086423011e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16246086423011e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16246086423011e-05×40589641000000     		ar = 66757.6798768742m²