Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61223 / 53545
↖ ↑ ↗
← N 31.257422°
W 11.846008°		 ← 261.09 m → N 31.257422°
W 11.843262°		 →
↑
261.08 m
↓
↑
261.08 m
↓
N 31.255074°
W 11.846008°		 ← 261.10 m →
68 168 m²		 N 31.255074°
W 11.843262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467098236083984 y=0.408519744873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467098236083984 × 217)
    floor (0.467098236083984 × 131072)
    floor (61223.5)     		tx = 61223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408519744873047 × 217)
    floor (0.408519744873047 × 131072)
    floor (53545.5)     		ty = 53545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61223 / 53545 ti = "17/61223/53545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61223/53545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61223 ÷ 217
    61223 ÷ 131072     		x = 0.467094421386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53545 ÷ 217
    53545 ÷ 131072     		y = 0.408515930175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467094421386719 × 2 - 1) × π
    -0.0658111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20675185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408515930175781 × 2 - 1) × π
    0.182968139648438 × 3.1415926535     		Φ = 0.574811363344093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20675185} λ = -0.20675185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.574811363344093))-π/2
    2×atan(1.77679532657086)-π/2
    2×1.05817062919196-π/2
    2.11634125838391-1.57079632675     		φ = 0.54554493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20675185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.846008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54554493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.257422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61223 KachelY 53545 -0.20675185 0.54554493 -11.846008 31.257422
    Oben rechts KachelX + 1 61224 KachelY 53545 -0.20670391 0.54554493 -11.843262 31.257422
    Unten links KachelX 61223 KachelY + 1 53546 -0.20675185 0.54550395 -11.846008 31.255074
    Unten rechts KachelX + 1 61224 KachelY + 1 53546 -0.20670391 0.54550395 -11.843262 31.255074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54554493-0.54550395) × R
    4.09800000000793e-05 × 6371000     		dl = 261.083580000505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54554493-0.54550395) × R
    4.09800000000793e-05 × 6371000     		dr = 261.083580000505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20675185--0.20670391) × cos(0.54554493) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.854844662259986 × 6371000     		do = 261.091563555786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20675185--0.20670391) × cos(0.54550395) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.854865925408423 × 6371000     		du = 261.098057868632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54554493)-sin(0.54550395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854844662259986-0.854865925408423)×R²
    abs(-0.20670391--0.20675185)×2.12631484369785e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12631484369785e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12631484369785e-05×40589641000000     		ar = 68167.5679099701m²