Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61222 / 53546
↖ ↑ ↗
← N 31.255074°
W 11.848755°		 ← 261.04 m → N 31.255074°
W 11.846008°		 →
↑
261.08 m
↓
↑
261.08 m
↓
N 31.252726°
W 11.848755°		 ← 261.05 m →
68 155 m²		 N 31.252726°
W 11.846008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467090606689453 y=0.408527374267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467090606689453 × 217)
    floor (0.467090606689453 × 131072)
    floor (61222.5)     		tx = 61222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408527374267578 × 217)
    floor (0.408527374267578 × 131072)
    floor (53546.5)     		ty = 53546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61222 / 53546 ti = "17/61222/53546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61222/53546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61222 ÷ 217
    61222 ÷ 131072     		x = 0.467086791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53546 ÷ 217
    53546 ÷ 131072     		y = 0.408523559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467086791992188 × 2 - 1) × π
    -0.065826416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20679978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408523559570312 × 2 - 1) × π
    0.182952880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.574763426444473
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20679978} λ = -0.20679978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.574763426444473))-π/2
    2×atan(1.7767101545531)-π/2
    2×1.05815013963578-π/2
    2.11630027927155-1.57079632675     		φ = 0.54550395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20679978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.848755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54550395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.255074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61222 KachelY 53546 -0.20679978 0.54550395 -11.848755 31.255074
    Oben rechts KachelX + 1 61223 KachelY 53546 -0.20675185 0.54550395 -11.846008 31.255074
    Unten links KachelX 61222 KachelY + 1 53547 -0.20679978 0.54546297 -11.848755 31.252726
    Unten rechts KachelX + 1 61223 KachelY + 1 53547 -0.20675185 0.54546297 -11.846008 31.252726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54550395-0.54546297) × R
    4.09799999999683e-05 × 6371000     		dl = 261.083579999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54550395-0.54546297) × R
    4.09799999999683e-05 × 6371000     		dr = 261.083579999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20679978--0.20675185) × cos(0.54550395) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.854865925408423 × 6371000     		do = 261.043594360553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20679978--0.20675185) × cos(0.54546297) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.854887187121232 × 6371000     		du = 261.050086880338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54550395)-sin(0.54546297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.854865925408423-0.854887187121232)×R²
    abs(-0.20675185--0.20679978)×2.12617128090287e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.12617128090287e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.12617128090287e-05×40589641000000     		ar = 68155.0437063274m²