Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61222 / 53314
↖ ↑ ↗
← N 31.798224°
W 11.848755°		 ← 259.53 m → N 31.798224°
W 11.846008°		 →
↑
259.62 m
↓
↑
259.62 m
↓
N 31.795889°
W 11.848755°		 ← 259.54 m →
67 380 m²		 N 31.795889°
W 11.846008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467090606689453 y=0.406757354736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467090606689453 × 217)
    floor (0.467090606689453 × 131072)
    floor (61222.5)     		tx = 61222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406757354736328 × 217)
    floor (0.406757354736328 × 131072)
    floor (53314.5)     		ty = 53314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61222 / 53314 ti = "17/61222/53314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61222/53314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61222 ÷ 217
    61222 ÷ 131072     		x = 0.467086791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53314 ÷ 217
    53314 ÷ 131072     		y = 0.406753540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467086791992188 × 2 - 1) × π
    -0.065826416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20679978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406753540039062 × 2 - 1) × π
    0.186492919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.585884787156326
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20679978} λ = -0.20679978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585884787156326))-π/2
    2×atan(1.79657987341981)-π/2
    2×1.06289001606385-π/2
    2.1257800321277-1.57079632675     		φ = 0.55498371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20679978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.848755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55498371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.798224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61222 KachelY 53314 -0.20679978 0.55498371 -11.848755 31.798224
    Oben rechts KachelX + 1 61223 KachelY 53314 -0.20675185 0.55498371 -11.846008 31.798224
    Unten links KachelX 61222 KachelY + 1 53315 -0.20679978 0.55494296 -11.848755 31.795889
    Unten rechts KachelX + 1 61223 KachelY + 1 53315 -0.20675185 0.55494296 -11.846008 31.795889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55498371-0.55494296) × R
    4.07500000000338e-05 × 6371000     		dl = 259.618250000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55498371-0.55494296) × R
    4.07500000000338e-05 × 6371000     		dr = 259.618250000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20679978--0.20675185) × cos(0.55498371) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849909024063425 × 6371000     		do = 259.529944903335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20679978--0.20675185) × cos(0.55494296) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849930495733057 × 6371000     		du = 259.536501535961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55498371)-sin(0.55494296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849909024063425-0.849930495733057)×R²
    abs(-0.20675185--0.20679978)×2.14716696321782e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14716696321782e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14716696321782e-05×40589641000000     		ar = 67379.5612384834m²