Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61215 / 53253
↖ ↑ ↗
← N 31.940509°
W 11.867981°		 ← 259.13 m → N 31.940509°
W 11.865235°		 →
↑
259.17 m
↓
↑
259.17 m
↓
N 31.938178°
W 11.867981°		 ← 259.14 m →
67 160 m²		 N 31.938178°
W 11.865235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467037200927734 y=0.406291961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467037200927734 × 217)
    floor (0.467037200927734 × 131072)
    floor (61215.5)     		tx = 61215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406291961669922 × 217)
    floor (0.406291961669922 × 131072)
    floor (53253.5)     		ty = 53253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61215 / 53253 ti = "17/61215/53253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61215/53253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61215 ÷ 217
    61215 ÷ 131072     		x = 0.467033386230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53253 ÷ 217
    53253 ÷ 131072     		y = 0.406288146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467033386230469 × 2 - 1) × π
    -0.0659332275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20713534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406288146972656 × 2 - 1) × π
    0.187423706054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.58880893803315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20713534} λ = -0.20713534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58880893803315))-π/2
    2×atan(1.80184103249455)-π/2
    2×1.064131689055-π/2
    2.12826337811-1.57079632675     		φ = 0.55746705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20713534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.867981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55746705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.940509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61215 KachelY 53253 -0.20713534 0.55746705 -11.867981 31.940509
    Oben rechts KachelX + 1 61216 KachelY 53253 -0.20708741 0.55746705 -11.865235 31.940509
    Unten links KachelX 61215 KachelY + 1 53254 -0.20713534 0.55742637 -11.867981 31.938178
    Unten rechts KachelX + 1 61216 KachelY + 1 53254 -0.20708741 0.55742637 -11.865235 31.938178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55746705-0.55742637) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dl = 259.172280000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55746705-0.55742637) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dr = 259.172280000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20713534--0.20708741) × cos(0.55746705) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.848597859731381 × 6371000     		do = 259.129565101238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20713534--0.20708741) × cos(0.55742637) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.848619380313014 × 6371000     		du = 259.136136669733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55746705)-sin(0.55742637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848597859731381-0.848619380313014)×R²
    abs(-0.20708741--0.20713534)×2.15205816331832e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15205816331832e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15205816331832e-05×40589641000000     		ar = 67160.0517962839m²