Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61212 / 53260
↖ ↑ ↗
← N 31.924192°
W 11.876220°		 ← 259.18 m → N 31.924192°
W 11.873474°		 →
↑
259.17 m
↓
↑
259.17 m
↓
N 31.921862°
W 11.876220°		 ← 259.18 m →
67 172 m²		 N 31.921862°
W 11.873474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467014312744141 y=0.406345367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467014312744141 × 217)
    floor (0.467014312744141 × 131072)
    floor (61212.5)     		tx = 61212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406345367431641 × 217)
    floor (0.406345367431641 × 131072)
    floor (53260.5)     		ty = 53260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61212 / 53260 ti = "17/61212/53260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61212/53260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61212 ÷ 217
    61212 ÷ 131072     		x = 0.467010498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53260 ÷ 217
    53260 ÷ 131072     		y = 0.406341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467010498046875 × 2 - 1) × π
    -0.06597900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20727915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406341552734375 × 2 - 1) × π
    0.18731689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.588473379735809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20727915} λ = -0.20727915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.588473379735809))-π/2
    2×atan(1.80123651121735)-π/2
    2×1.06398929939221-π/2
    2.12797859878442-1.57079632675     		φ = 0.55718227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20727915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.876220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55718227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.924192°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61212 KachelY 53260 -0.20727915 0.55718227 -11.876220 31.924192
    Oben rechts KachelX + 1 61213 KachelY 53260 -0.20723122 0.55718227 -11.873474 31.924192
    Unten links KachelX 61212 KachelY + 1 53261 -0.20727915 0.55714159 -11.876220 31.921862
    Unten rechts KachelX + 1 61213 KachelY + 1 53261 -0.20723122 0.55714159 -11.873474 31.921862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55718227-0.55714159) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dl = 259.172280000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55718227-0.55714159) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dr = 259.172280000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20727915--0.20723122) × cos(0.55718227) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.848748484886188 × 6371000     		do = 259.175560304279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20727915--0.20723122) × cos(0.55714159) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.848769995635944 × 6371000     		du = 259.182128870492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55718227)-sin(0.55714159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848748484886188-0.848769995635944)×R²
    abs(-0.20723122--0.20727915)×2.1510749756759e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1510749756759e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1510749756759e-05×40589641000000     		ar = 67171.9720887945m²