Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61211 / 53307
↖ ↑ ↗
← N 31.814563°
W 11.878967°		 ← 259.54 m → N 31.814563°
W 11.876220°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
N 31.812229°
W 11.878967°		 ← 259.54 m →
67 349 m²		 N 31.812229°
W 11.876220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.467006683349609 y=0.406703948974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.467006683349609 × 217)
    floor (0.467006683349609 × 131072)
    floor (61211.5)     		tx = 61211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406703948974609 × 217)
    floor (0.406703948974609 × 131072)
    floor (53307.5)     		ty = 53307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61211 / 53307 ti = "17/61211/53307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61211/53307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61211 ÷ 217
    61211 ÷ 131072     		x = 0.467002868652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53307 ÷ 217
    53307 ÷ 131072     		y = 0.406700134277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.467002868652344 × 2 - 1) × π
    -0.0659942626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20732709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406700134277344 × 2 - 1) × π
    0.186599731445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.586220345453667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20732709} λ = -0.20732709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586220345453667))-π/2
    2×atan(1.79718283186137)-π/2
    2×1.06303260046889-π/2
    2.12606520093779-1.57079632675     		φ = 0.55526887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20732709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.878967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55526887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.814563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61211 KachelY 53307 -0.20732709 0.55526887 -11.878967 31.814563
    Oben rechts KachelX + 1 61212 KachelY 53307 -0.20727915 0.55526887 -11.876220 31.814563
    Unten links KachelX 61211 KachelY + 1 53308 -0.20732709 0.55522814 -11.878967 31.812229
    Unten rechts KachelX + 1 61212 KachelY + 1 53308 -0.20727915 0.55522814 -11.876220 31.812229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55526887-0.55522814) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55526887-0.55522814) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20732709--0.20727915) × cos(0.55526887) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849758730306304 × 6371000     		do = 259.538189025243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20732709--0.20727915) × cos(0.55522814) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849780201308617 × 6371000     		du = 259.544746822013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55526887)-sin(0.55522814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849758730306304-0.849780201308617)×R²
    abs(-0.20727915--0.20732709)×2.14710023126452e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14710023126452e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14710023126452e-05×40589641000000     		ar = 67348.6309401532m²