Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61209 / 53305
↖ ↑ ↗
← N 31.819231°
W 11.884460°		 ← 259.47 m → N 31.819231°
W 11.881714°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
N 31.816897°
W 11.884460°		 ← 259.48 m →
67 331 m²		 N 31.816897°
W 11.881714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466991424560547 y=0.406688690185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466991424560547 × 217)
    floor (0.466991424560547 × 131072)
    floor (61209.5)     		tx = 61209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406688690185547 × 217)
    floor (0.406688690185547 × 131072)
    floor (53305.5)     		ty = 53305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61209 / 53305 ti = "17/61209/53305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61209/53305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61209 ÷ 217
    61209 ÷ 131072     		x = 0.466987609863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53305 ÷ 217
    53305 ÷ 131072     		y = 0.406684875488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466987609863281 × 2 - 1) × π
    -0.0660247802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20742296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406684875488281 × 2 - 1) × π
    0.186630249023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.586316219252907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20742296} λ = -0.20742296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586316219252907))-π/2
    2×atan(1.79735514286731)-π/2
    2×1.06307333423831-π/2
    2.12614666847662-1.57079632675     		φ = 0.55535034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20742296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.884460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55535034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.819231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61209 KachelY 53305 -0.20742296 0.55535034 -11.884460 31.819231
    Oben rechts KachelX + 1 61210 KachelY 53305 -0.20737503 0.55535034 -11.881714 31.819231
    Unten links KachelX 61209 KachelY + 1 53306 -0.20742296 0.55530961 -11.884460 31.816897
    Unten rechts KachelX + 1 61210 KachelY + 1 53306 -0.20737503 0.55530961 -11.881714 31.816897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55535034-0.55530961) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55535034-0.55530961) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20742296--0.20737503) × cos(0.55535034) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849715778800226 × 6371000     		do = 259.470935137477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20742296--0.20737503) × cos(0.55530961) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849737252622235 × 6371000     		du = 259.477492427357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55535034)-sin(0.55530961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849715778800226-0.849737252622235)×R²
    abs(-0.20737503--0.20742296)×2.14738220085664e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14738220085664e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14738220085664e-05×40589641000000     		ar = 67331.1791071938m²