Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61207 / 53286
↖ ↑ ↗
← N 31.863563°
W 11.889954°		 ← 259.40 m → N 31.863563°
W 11.887207°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
N 31.861230°
W 11.889954°		 ← 259.41 m →
67 296 m²		 N 31.861230°
W 11.887207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466976165771484 y=0.406543731689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466976165771484 × 217)
    floor (0.466976165771484 × 131072)
    floor (61207.5)     		tx = 61207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406543731689453 × 217)
    floor (0.406543731689453 × 131072)
    floor (53286.5)     		ty = 53286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61207 / 53286 ti = "17/61207/53286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61207/53286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61207 ÷ 217
    61207 ÷ 131072     		x = 0.466972351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53286 ÷ 217
    53286 ÷ 131072     		y = 0.406539916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466972351074219 × 2 - 1) × π
    -0.0660552978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20751884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406539916992188 × 2 - 1) × π
    0.186920166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.587227020345688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20751884} λ = -0.20751884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587227020345688))-π/2
    2×atan(1.79899292162767)-π/2
    2×1.0634602023325-π/2
    2.12692040466501-1.57079632675     		φ = 0.55612408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20751884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.889954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55612408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.863563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61207 KachelY 53286 -0.20751884 0.55612408 -11.889954 31.863563
    Oben rechts KachelX + 1 61208 KachelY 53286 -0.20747090 0.55612408 -11.887207 31.863563
    Unten links KachelX 61207 KachelY + 1 53287 -0.20751884 0.55608336 -11.889954 31.861230
    Unten rechts KachelX + 1 61208 KachelY + 1 53287 -0.20747090 0.55608336 -11.887207 31.861230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55612408-0.55608336) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dl = 259.427119999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55612408-0.55608336) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dr = 259.427119999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20751884--0.20747090) × cos(0.55612408) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.8493075770214 × 6371000     		do = 259.400395199348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20751884--0.20747090) × cos(0.55608336) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.849329072336988 × 6371000     		du = 259.406960422018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55612408)-sin(0.55608336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8493075770214-0.849329072336988)×R²
    abs(-0.20747090--0.20751884)×2.14953155875941e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14953155875941e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14953155875941e-05×40589641000000     		ar = 67296.3490611411m²