Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61206 / 53270
↖ ↑ ↗
← N 31.900878°
W 11.892700°		 ← 259.30 m → N 31.900878°
W 11.889954°		 →
↑
259.30 m
↓
↑
259.30 m
↓
N 31.898546°
W 11.892700°		 ← 259.30 m →
67 236 m²		 N 31.898546°
W 11.889954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466968536376953 y=0.406421661376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466968536376953 × 217)
    floor (0.466968536376953 × 131072)
    floor (61206.5)     		tx = 61206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406421661376953 × 217)
    floor (0.406421661376953 × 131072)
    floor (53270.5)     		ty = 53270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61206 / 53270 ti = "17/61206/53270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61206/53270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61206 ÷ 217
    61206 ÷ 131072     		x = 0.466964721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53270 ÷ 217
    53270 ÷ 131072     		y = 0.406417846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466964721679688 × 2 - 1) × π
    -0.066070556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20756678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406417846679688 × 2 - 1) × π
    0.187164306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.587994010739609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20756678} λ = -0.20756678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.587994010739609))-π/2
    2×atan(1.80037326120322)-π/2
    2×1.06378584175744-π/2
    2.12757168351487-1.57079632675     		φ = 0.55677536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20756678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.892700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55677536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.900878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61206 KachelY 53270 -0.20756678 0.55677536 -11.892700 31.900878
    Oben rechts KachelX + 1 61207 KachelY 53270 -0.20751884 0.55677536 -11.889954 31.900878
    Unten links KachelX 61206 KachelY + 1 53271 -0.20756678 0.55673466 -11.892700 31.898546
    Unten rechts KachelX + 1 61207 KachelY + 1 53271 -0.20751884 0.55673466 -11.889954 31.898546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55677536-0.55673466) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dl = 259.299700000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55677536-0.55673466) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dr = 259.299700000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20756678--0.20751884) × cos(0.55677536) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848963587302247 × 6371000     		do = 259.295331884823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20756678--0.20751884) × cos(0.55673466) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848985094568964 × 6371000     		du = 259.301900757676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55677536)-sin(0.55673466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848963587302247-0.848985094568964)×R²
    abs(-0.20751884--0.20756678)×2.15072667167915e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15072667167915e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15072667167915e-05×40589641000000     		ar = 67236.0534319224m²