Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61204 / 53269
↖ ↑ ↗
← N 31.903210°
W 11.898193°		 ← 259.29 m → N 31.903210°
W 11.895447°		 →
↑
259.24 m
↓
↑
259.24 m
↓
N 31.900878°
W 11.898193°		 ← 259.30 m →
67 218 m²		 N 31.900878°
W 11.895447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466953277587891 y=0.406414031982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466953277587891 × 217)
    floor (0.466953277587891 × 131072)
    floor (61204.5)     		tx = 61204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406414031982422 × 217)
    floor (0.406414031982422 × 131072)
    floor (53269.5)     		ty = 53269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61204 / 53269 ti = "17/61204/53269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61204/53269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61204 ÷ 217
    61204 ÷ 131072     		x = 0.466949462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53269 ÷ 217
    53269 ÷ 131072     		y = 0.406410217285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466949462890625 × 2 - 1) × π
    -0.06610107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20766265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406410217285156 × 2 - 1) × π
    0.187179565429688 × 3.1415926535     		Φ = 0.588041947639229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20766265} λ = -0.20766265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.588041947639229))-π/2
    2×atan(1.80045956758414)-π/2
    2×1.06380618984087-π/2
    2.12761237968175-1.57079632675     		φ = 0.55681605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20766265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.898193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55681605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.903210°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61204 KachelY 53269 -0.20766265 0.55681605 -11.898193 31.903210
    Oben rechts KachelX + 1 61205 KachelY 53269 -0.20761471 0.55681605 -11.895447 31.903210
    Unten links KachelX 61204 KachelY + 1 53270 -0.20766265 0.55677536 -11.898193 31.900878
    Unten rechts KachelX + 1 61205 KachelY + 1 53270 -0.20761471 0.55677536 -11.895447 31.900878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55681605-0.55677536) × R
    4.06899999999544e-05 × 6371000     		dl = 259.235989999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55681605-0.55677536) × R
    4.06899999999544e-05 × 6371000     		dr = 259.235989999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20766265--0.20761471) × cos(0.55681605) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.84894208391409 × 6371000     		do = 259.288764196583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20766265--0.20761471) × cos(0.55677536) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.848963587302247 × 6371000     		du = 259.295331884823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55681605)-sin(0.55677536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84894208391409-0.848963587302247)×R²
    abs(-0.20761471--0.20766265)×2.15033881574289e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15033881574289e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15033881574289e-05×40589641000000     		ar = 67217.8307819757m²