Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61200 / 53456
↖ ↑ ↗
← N 31.466154°
W 11.909180°		 ← 260.51 m → N 31.466154°
W 11.906433°		 →
↑
260.51 m
↓
↑
260.51 m
↓
N 31.463811°
W 11.909180°		 ← 260.52 m →
67 867 m²		 N 31.463811°
W 11.906433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466922760009766 y=0.407840728759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466922760009766 × 217)
    floor (0.466922760009766 × 131072)
    floor (61200.5)     		tx = 61200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407840728759766 × 217)
    floor (0.407840728759766 × 131072)
    floor (53456.5)     		ty = 53456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61200 / 53456 ti = "17/61200/53456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61200/53456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61200 ÷ 217
    61200 ÷ 131072     		x = 0.4669189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53456 ÷ 217
    53456 ÷ 131072     		y = 0.4078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4669189453125 × 2 - 1) × π
    -0.066162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20785440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4078369140625 × 2 - 1) × π
    0.184326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.579077747410278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20785440} λ = -0.20785440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.579077747410278))-π/2
    2×atan(1.78439201150587)-π/2
    2×1.0599921560233-π/2
    2.1199843120466-1.57079632675     		φ = 0.54918799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20785440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.909180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54918799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.466154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61200 KachelY 53456 -0.20785440 0.54918799 -11.909180 31.466154
    Oben rechts KachelX + 1 61201 KachelY 53456 -0.20780646 0.54918799 -11.906433 31.466154
    Unten links KachelX 61200 KachelY + 1 53457 -0.20785440 0.54914710 -11.909180 31.463811
    Unten rechts KachelX + 1 61201 KachelY + 1 53457 -0.20780646 0.54914710 -11.906433 31.463811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54918799-0.54914710) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dl = 260.510189999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54918799-0.54914710) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dr = 260.510189999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20785440--0.20780646) × cos(0.54918799) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.852948668209257 × 6371000     		do = 260.512478169807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20785440--0.20780646) × cos(0.54914710) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.852970011863489 × 6371000     		du = 260.518997071195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54918799)-sin(0.54914710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852948668209257-0.852970011863489)×R²
    abs(-0.20780646--0.20785440)×2.13436542327861e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13436542327861e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13436542327861e-05×40589641000000     		ar = 67867.004314928m²