Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61199 / 53311
↖ ↑ ↗
← N 31.805227°
W 11.911926°		 ← 259.51 m → N 31.805227°
W 11.909180°		 →
↑
259.55 m
↓
↑
259.55 m
↓
N 31.802893°
W 11.911926°		 ← 259.52 m →
67 358 m²		 N 31.802893°
W 11.909180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466915130615234 y=0.406734466552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466915130615234 × 217)
    floor (0.466915130615234 × 131072)
    floor (61199.5)     		tx = 61199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406734466552734 × 217)
    floor (0.406734466552734 × 131072)
    floor (53311.5)     		ty = 53311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61199 / 53311 ti = "17/61199/53311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61199/53311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61199 ÷ 217
    61199 ÷ 131072     		x = 0.466911315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53311 ÷ 217
    53311 ÷ 131072     		y = 0.406730651855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466911315917969 × 2 - 1) × π
    -0.0661773681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.20790233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406730651855469 × 2 - 1) × π
    0.186538696289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.586028597855186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20790233} λ = -0.20790233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.586028597855186))-π/2
    2×atan(1.79683825940585)-π/2
    2×1.06295112675378-π/2
    2.12590225350756-1.57079632675     		φ = 0.55510593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20790233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.911926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55510593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.805227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61199 KachelY 53311 -0.20790233 0.55510593 -11.911926 31.805227
    Oben rechts KachelX + 1 61200 KachelY 53311 -0.20785440 0.55510593 -11.909180 31.805227
    Unten links KachelX 61199 KachelY + 1 53312 -0.20790233 0.55506519 -11.911926 31.802893
    Unten rechts KachelX + 1 61200 KachelY + 1 53312 -0.20785440 0.55506519 -11.909180 31.802893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55510593-0.55506519) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dl = 259.554539999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55510593-0.55506519) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dr = 259.554539999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20790233--0.20785440) × cos(0.55510593) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849844616397709 × 6371000     		do = 259.510277247784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20790233--0.20785440) × cos(0.55506519) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.849866087030189 × 6371000     		du = 259.516833563704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55510593)-sin(0.55506519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849844616397709-0.849866087030189)×R²
    abs(-0.20785440--0.20790233)×2.14706324803693e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.14706324803693e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.14706324803693e-05×40589641000000     		ar = 67357.9215064198m²