Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61176 / 53496
↖ ↑ ↗
← N 31.372399°
W 11.975098°		 ← 260.72 m → N 31.372399°
W 11.972351°		 →
↑
260.77 m
↓
↑
260.77 m
↓
N 31.370054°
W 11.975098°		 ← 260.73 m →
67 987 m²		 N 31.370054°
W 11.972351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466739654541016 y=0.408145904541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466739654541016 × 217)
    floor (0.466739654541016 × 131072)
    floor (61176.5)     		tx = 61176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408145904541016 × 217)
    floor (0.408145904541016 × 131072)
    floor (53496.5)     		ty = 53496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61176 / 53496 ti = "17/61176/53496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61176/53496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61176 ÷ 217
    61176 ÷ 131072     		x = 0.46673583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53496 ÷ 217
    53496 ÷ 131072     		y = 0.40814208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46673583984375 × 2 - 1) × π
    -0.0665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20900488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40814208984375 × 2 - 1) × π
    0.1837158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.577160271425476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20900488} λ = -0.20900488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.577160271425476))-π/2
    2×atan(1.78097376093036)-π/2
    2×1.05917399270535-π/2
    2.1183479854107-1.57079632675     		φ = 0.54755166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20900488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -11.975098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54755166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.372399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61176 KachelY 53496 -0.20900488 0.54755166 -11.975098 31.372399
    Oben rechts KachelX + 1 61177 KachelY 53496 -0.20895695 0.54755166 -11.972351 31.372399
    Unten links KachelX 61176 KachelY + 1 53497 -0.20900488 0.54751073 -11.975098 31.370054
    Unten rechts KachelX + 1 61177 KachelY + 1 53497 -0.20895695 0.54751073 -11.972351 31.370054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54755166-0.54751073) × R
    4.09300000000501e-05 × 6371000     		dl = 260.765030000319m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54755166-0.54751073) × R
    4.09300000000501e-05 × 6371000     		dr = 260.765030000319m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20900488--0.20895695) × cos(0.54755166) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.853801681659168 × 6371000     		do = 260.718614728866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20900488--0.20895695) × cos(0.54751073) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.853822989036279 × 6371000     		du = 260.725121192795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54755166)-sin(0.54751073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853801681659168-0.853822989036279)×R²
    abs(-0.20895695--0.20900488)×2.13073771105909e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13073771105909e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13073771105909e-05×40589641000000     		ar = 67987.1457300096m²