Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61166 / 53230
↖ ↑ ↗
← N 31.994101°
W 12.002563°		 ← 259.03 m → N 31.994101°
W 11.999817°		 →
↑
259.04 m
↓
↑
259.04 m
↓
N 31.991771°
W 12.002563°		 ← 259.04 m →
67 102 m²		 N 31.991771°
W 11.999817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466663360595703 y=0.406116485595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466663360595703 × 217)
    floor (0.466663360595703 × 131072)
    floor (61166.5)     		tx = 61166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406116485595703 × 217)
    floor (0.406116485595703 × 131072)
    floor (53230.5)     		ty = 53230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61166 / 53230 ti = "17/61166/53230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61166/53230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61166 ÷ 217
    61166 ÷ 131072     		x = 0.466659545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53230 ÷ 217
    53230 ÷ 131072     		y = 0.406112670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466659545898438 × 2 - 1) × π
    -0.066680908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.20948425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406112670898438 × 2 - 1) × π
    0.187774658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.589911486724411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20948425} λ = -0.20948425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.589911486724411))-π/2
    2×atan(1.80382874554064)-π/2
    2×1.0645993628081-π/2
    2.1291987256162-1.57079632675     		φ = 0.55840240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20948425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.002563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55840240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.994101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61166 KachelY 53230 -0.20948425 0.55840240 -12.002563 31.994101
    Oben rechts KachelX + 1 61167 KachelY 53230 -0.20943631 0.55840240 -11.999817 31.994101
    Unten links KachelX 61166 KachelY + 1 53231 -0.20948425 0.55836174 -12.002563 31.991771
    Unten rechts KachelX + 1 61167 KachelY + 1 53231 -0.20943631 0.55836174 -11.999817 31.991771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55840240-0.55836174) × R
    4.06599999999147e-05 × 6371000     		dl = 259.044859999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55840240-0.55836174) × R
    4.06599999999147e-05 × 6371000     		dr = 259.044859999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20948425--0.20943631) × cos(0.55840240) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.848102652486928 × 6371000     		do = 259.032380231913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20948425--0.20943631) × cos(0.55836174) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.848124194752784 × 6371000     		du = 259.038959794403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55840240)-sin(0.55836174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848102652486928-0.848124194752784)×R²
    abs(-0.20943631--0.20948425)×2.15422658554898e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15422658554898e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15422658554898e-05×40589641000000     		ar = 67101.8588827003m²