Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61165 / 53324
↖ ↑ ↗
← N 31.774877°
W 12.005310°		 ← 259.65 m → N 31.774877°
W 12.002563°		 →
↑
259.62 m
↓
↑
259.62 m
↓
N 31.772543°
W 12.005310°		 ← 259.66 m →
67 411 m²		 N 31.772543°
W 12.002563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466655731201172 y=0.406833648681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466655731201172 × 217)
    floor (0.466655731201172 × 131072)
    floor (61165.5)     		tx = 61165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406833648681641 × 217)
    floor (0.406833648681641 × 131072)
    floor (53324.5)     		ty = 53324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61165 / 53324 ti = "17/61165/53324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61165/53324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61165 ÷ 217
    61165 ÷ 131072     		x = 0.466651916503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53324 ÷ 217
    53324 ÷ 131072     		y = 0.406829833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466651916503906 × 2 - 1) × π
    -0.0666961669921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.20953219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406829833984375 × 2 - 1) × π
    0.18634033203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.585405418160126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20953219} λ = -0.20953219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.585405418160126))-π/2
    2×atan(1.79571885511852)-π/2
    2×1.06268628032094-π/2
    2.12537256064188-1.57079632675     		φ = 0.55457623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20953219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.005310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55457623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.774877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61165 KachelY 53324 -0.20953219 0.55457623 -12.005310 31.774877
    Oben rechts KachelX + 1 61166 KachelY 53324 -0.20948425 0.55457623 -12.002563 31.774877
    Unten links KachelX 61165 KachelY + 1 53325 -0.20953219 0.55453548 -12.005310 31.772543
    Unten rechts KachelX + 1 61166 KachelY + 1 53325 -0.20948425 0.55453548 -12.002563 31.772543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55457623-0.55453548) × R
    4.07500000000338e-05 × 6371000     		dl = 259.618250000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55457623-0.55453548) × R
    4.07500000000338e-05 × 6371000     		dr = 259.618250000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20953219--0.20948425) × cos(0.55457623) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850123666712485 × 6371000     		do = 259.649649997154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20953219--0.20948425) × cos(0.55453548) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.850145124267579 × 6371000     		du = 259.656203686797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55457623)-sin(0.55453548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850123666712485-0.850145124267579)×R²
    abs(-0.20948425--0.20953219)×2.14575550939733e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.14575550939733e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.14575550939733e-05×40589641000000     		ar = 67410.6384834643m²