Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61160 / 53480
↖ ↑ ↗
← N 31.409912°
W 12.019043°		 ← 260.61 m → N 31.409912°
W 12.016297°		 →
↑
260.70 m
↓
↑
260.70 m
↓
N 31.407568°
W 12.019043°		 ← 260.62 m →
67 943 m²		 N 31.407568°
W 12.016297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466617584228516 y=0.408023834228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466617584228516 × 217)
    floor (0.466617584228516 × 131072)
    floor (61160.5)     		tx = 61160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408023834228516 × 217)
    floor (0.408023834228516 × 131072)
    floor (53480.5)     		ty = 53480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61160 / 53480 ti = "17/61160/53480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61160/53480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61160 ÷ 217
    61160 ÷ 131072     		x = 0.46661376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53480 ÷ 217
    53480 ÷ 131072     		y = 0.40802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46661376953125 × 2 - 1) × π
    -0.0667724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20977187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40802001953125 × 2 - 1) × π
    0.1839599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.577927261819397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20977187} λ = -0.20977187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.577927261819397))-π/2
    2×atan(1.78234027468129)-π/2
    2×1.05950135616483-π/2
    2.11900271232965-1.57079632675     		φ = 0.54820639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20977187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.019043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54820639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.409912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61160 KachelY 53480 -0.20977187 0.54820639 -12.019043 31.409912
    Oben rechts KachelX + 1 61161 KachelY 53480 -0.20972394 0.54820639 -12.016297 31.409912
    Unten links KachelX 61160 KachelY + 1 53481 -0.20977187 0.54816547 -12.019043 31.407568
    Unten rechts KachelX + 1 61161 KachelY + 1 53481 -0.20972394 0.54816547 -12.016297 31.407568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54820639-0.54816547) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dl = 260.701319999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54820639-0.54816547) × R
    4.09199999999998e-05 × 6371000     		dr = 260.701319999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20977187--0.20972394) × cos(0.54820639) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.853460647296502 × 6371000     		do = 260.614475783582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20977187--0.20972394) × cos(0.54816547) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.853481972338367 × 6371000     		du = 260.620987641656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54820639)-sin(0.54816547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853460647296502-0.853481972338367)×R²
    abs(-0.20972394--0.20977187)×2.13250418656941e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13250418656941e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13250418656941e-05×40589641000000     		ar = 67943.3866825429m²