Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61153 / 53473
↖ ↑ ↗
← N 31.426320°
W 12.038269°		 ← 260.62 m → N 31.426320°
W 12.035522°		 →
↑
260.64 m
↓
↑
260.64 m
↓
N 31.423976°
W 12.038269°		 ← 260.63 m →
67 929 m²		 N 31.423976°
W 12.035522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466564178466797 y=0.407970428466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466564178466797 × 217)
    floor (0.466564178466797 × 131072)
    floor (61153.5)     		tx = 61153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407970428466797 × 217)
    floor (0.407970428466797 × 131072)
    floor (53473.5)     		ty = 53473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61153 / 53473 ti = "17/61153/53473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61153/53473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61153 ÷ 217
    61153 ÷ 131072     		x = 0.466560363769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53473 ÷ 217
    53473 ÷ 131072     		y = 0.407966613769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466560363769531 × 2 - 1) × π
    -0.0668792724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21010743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407966613769531 × 2 - 1) × π
    0.184066772460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.578262820116737
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21010743} λ = -0.21010743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.578262820116737))-π/2
    2×atan(1.78293845410556)-π/2
    2×1.05964453654413-π/2
    2.11928907308825-1.57079632675     		φ = 0.54849275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21010743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.038269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54849275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.426320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61153 KachelY 53473 -0.21010743 0.54849275 -12.038269 31.426320
    Oben rechts KachelX + 1 61154 KachelY 53473 -0.21005949 0.54849275 -12.035522 31.426320
    Unten links KachelX 61153 KachelY + 1 53474 -0.21010743 0.54845184 -12.038269 31.423976
    Unten rechts KachelX + 1 61154 KachelY + 1 53474 -0.21005949 0.54845184 -12.035522 31.423976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54849275-0.54845184) × R
    4.09099999999496e-05 × 6371000     		dl = 260.637609999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54849275-0.54845184) × R
    4.09099999999496e-05 × 6371000     		dr = 260.637609999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21010743--0.21005949) × cos(0.54849275) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853311373703503 × 6371000     		do = 260.62325776394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21010743--0.21005949) × cos(0.54845184) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853332703531676 × 6371000     		du = 260.629772442494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54849275)-sin(0.54845184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853311373703503-0.853332703531676)×R²
    abs(-0.21005949--0.21010743)×2.13298281733776e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13298281733776e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13298281733776e-05×40589641000000     		ar = 67929.0720085978m²