Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61152 / 53600
↖ ↑ ↗
← N 31.128199°
W 12.041016°		 ← 261.45 m → N 31.128199°
W 12.038269°		 →
↑
261.47 m
↓
↑
261.47 m
↓
N 31.125848°
W 12.041016°		 ← 261.45 m →
68 361 m²		 N 31.125848°
W 12.038269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466556549072266 y=0.408939361572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466556549072266 × 217)
    floor (0.466556549072266 × 131072)
    floor (61152.5)     		tx = 61152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408939361572266 × 217)
    floor (0.408939361572266 × 131072)
    floor (53600.5)     		ty = 53600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61152 / 53600 ti = "17/61152/53600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61152/53600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61152 ÷ 217
    61152 ÷ 131072     		x = 0.466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53600 ÷ 217
    53600 ÷ 131072     		y = 0.408935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.06689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21015537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408935546875 × 2 - 1) × π
    0.18212890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.57217483386499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21015537} λ = -0.21015537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.57217483386499))-π/2
    2×atan(1.77211692339804)-π/2
    2×1.0570429473837-π/2
    2.11408589476739-1.57079632675     		φ = 0.54328957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21015537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.041016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54328957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.128199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61152 KachelY 53600 -0.21015537 0.54328957 -12.041016 31.128199
    Oben rechts KachelX + 1 61153 KachelY 53600 -0.21010743 0.54328957 -12.038269 31.128199
    Unten links KachelX 61152 KachelY + 1 53601 -0.21015537 0.54324853 -12.041016 31.125848
    Unten rechts KachelX + 1 61153 KachelY + 1 53601 -0.21010743 0.54324853 -12.038269 31.125848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54328957-0.54324853) × R
    4.10400000000477e-05 × 6371000     		dl = 261.465840000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54328957-0.54324853) × R
    4.10400000000477e-05 × 6371000     		dr = 261.465840000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21015537--0.21010743) × cos(0.54328957) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.856012757335308 × 6371000     		do = 261.448329858557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21015537--0.21010743) × cos(0.54324853) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.856033972435205 × 6371000     		du = 261.454809496142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54328957)-sin(0.54324853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856012757335308-0.856033972435205)×R²
    abs(-0.21010743--0.21015537)×2.12150998967209e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12150998967209e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12150998967209e-05×40589641000000     		ar = 68360.6542946809m²