Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61121 / 53181
↖ ↑ ↗
← N 32.108169°
W 12.126160°		 ← 258.71 m → N 32.108169°
W 12.123413°		 →
↑
258.66 m
↓
↑
258.66 m
↓
N 32.105843°
W 12.126160°		 ← 258.72 m →
66 919 m²		 N 32.105843°
W 12.123413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466320037841797 y=0.405742645263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466320037841797 × 217)
    floor (0.466320037841797 × 131072)
    floor (61121.5)     		tx = 61121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405742645263672 × 217)
    floor (0.405742645263672 × 131072)
    floor (53181.5)     		ty = 53181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61121 / 53181 ti = "17/61121/53181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61121/53181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61121 ÷ 217
    61121 ÷ 131072     		x = 0.466316223144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53181 ÷ 217
    53181 ÷ 131072     		y = 0.405738830566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466316223144531 × 2 - 1) × π
    -0.0673675537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21164141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405738830566406 × 2 - 1) × π
    0.188522338867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.592260394805794
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21164141} λ = -0.21164141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.592260394805794))-π/2
    2×atan(1.80807075355153)-π/2
    2×1.06559480018517-π/2
    2.13118960037034-1.57079632675     		φ = 0.56039327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21164141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.126160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56039327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.108169°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61121 KachelY 53181 -0.21164141 0.56039327 -12.126160 32.108169
    Oben rechts KachelX + 1 61122 KachelY 53181 -0.21159347 0.56039327 -12.123413 32.108169
    Unten links KachelX 61121 KachelY + 1 53182 -0.21164141 0.56035267 -12.126160 32.105843
    Unten rechts KachelX + 1 61122 KachelY + 1 53182 -0.21159347 0.56035267 -12.123413 32.105843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56039327-0.56035267) × R
    4.06000000000573e-05 × 6371000     		dl = 258.662600000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56039327-0.56035267) × R
    4.06000000000573e-05 × 6371000     		dr = 258.662600000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21164141--0.21159347) × cos(0.56039327) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.84704614590396 × 6371000     		do = 258.709695926845m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21164141--0.21159347) × cos(0.56035267) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.847067724891724 × 6371000     		du = 258.716286705151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56039327)-sin(0.56035267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84704614590396-0.847067724891724)×R²
    abs(-0.21159347--0.21164141)×2.15789877638928e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15789877638928e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15789877638928e-05×40589641000000     		ar = 66919.3749966711m²