Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61118 / 53185
↖ ↑ ↗
← N 32.098863°
W 12.134399°		 ← 258.68 m → N 32.098863°
W 12.131653°		 →
↑
258.73 m
↓
↑
258.73 m
↓
N 32.096536°
W 12.134399°		 ← 258.69 m →
66 929 m²		 N 32.096536°
W 12.131653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466297149658203 y=0.405773162841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466297149658203 × 217)
    floor (0.466297149658203 × 131072)
    floor (61118.5)     		tx = 61118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405773162841797 × 217)
    floor (0.405773162841797 × 131072)
    floor (53185.5)     		ty = 53185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61118 / 53185 ti = "17/61118/53185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61118/53185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61118 ÷ 217
    61118 ÷ 131072     		x = 0.466293334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53185 ÷ 217
    53185 ÷ 131072     		y = 0.405769348144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466293334960938 × 2 - 1) × π
    -0.067413330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21178522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405769348144531 × 2 - 1) × π
    0.188461303710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.592068647207314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21178522} λ = -0.21178522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.592068647207314))-π/2
    2×atan(1.80772409356332)-π/2
    2×1.06551358651509-π/2
    2.13102717303018-1.57079632675     		φ = 0.56023085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21178522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.134399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56023085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.098863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61118 KachelY 53185 -0.21178522 0.56023085 -12.134399 32.098863
    Oben rechts KachelX + 1 61119 KachelY 53185 -0.21173729 0.56023085 -12.131653 32.098863
    Unten links KachelX 61118 KachelY + 1 53186 -0.21178522 0.56019024 -12.134399 32.096536
    Unten rechts KachelX + 1 61119 KachelY + 1 53186 -0.21173729 0.56019024 -12.131653 32.096536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56023085-0.56019024) × R
    4.06099999999965e-05 × 6371000     		dl = 258.726309999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56023085-0.56019024) × R
    4.06099999999965e-05 × 6371000     		dr = 258.726309999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21178522--0.21173729) × cos(0.56023085) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.847132464104873 × 6371000     		do = 258.682088917975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21178522--0.21173729) × cos(0.56019024) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.847154042820119 × 6371000     		du = 258.688678238267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56023085)-sin(0.56019024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847132464104873-0.847154042820119)×R²
    abs(-0.21173729--0.21178522)×2.15787152461067e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15787152461067e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15787152461067e-05×40589641000000     		ar = 66928.7147533007m²