Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61118 / 53184
↖ ↑ ↗
← N 32.101189°
W 12.134399°		 ← 258.68 m → N 32.101189°
W 12.131653°		 →
↑
258.66 m
↓
↑
258.66 m
↓
N 32.098863°
W 12.134399°		 ← 258.68 m →
66 911 m²		 N 32.098863°
W 12.131653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466297149658203 y=0.405765533447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466297149658203 × 217)
    floor (0.466297149658203 × 131072)
    floor (61118.5)     		tx = 61118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405765533447266 × 217)
    floor (0.405765533447266 × 131072)
    floor (53184.5)     		ty = 53184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61118 / 53184 ti = "17/61118/53184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61118/53184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61118 ÷ 217
    61118 ÷ 131072     		x = 0.466293334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53184 ÷ 217
    53184 ÷ 131072     		y = 0.40576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466293334960938 × 2 - 1) × π
    -0.067413330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21178522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40576171875 × 2 - 1) × π
    0.1884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.592116584106934
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21178522} λ = -0.21178522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.592116584106934))-π/2
    2×atan(1.8078107523288)-π/2
    2×1.06553389070848-π/2
    2.13106778141696-1.57079632675     		φ = 0.56027145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21178522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.134399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56027145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.101189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61118 KachelY 53184 -0.21178522 0.56027145 -12.134399 32.101189
    Oben rechts KachelX + 1 61119 KachelY 53184 -0.21173729 0.56027145 -12.131653 32.101189
    Unten links KachelX 61118 KachelY + 1 53185 -0.21178522 0.56023085 -12.134399 32.098863
    Unten rechts KachelX + 1 61119 KachelY + 1 53185 -0.21173729 0.56023085 -12.131653 32.098863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56027145-0.56023085) × R
    4.06000000000573e-05 × 6371000     		dl = 258.662600000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56027145-0.56023085) × R
    4.06000000000573e-05 × 6371000     		dr = 258.662600000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21178522--0.21173729) × cos(0.56027145) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.847110889306722 × 6371000     		do = 258.675500793814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21178522--0.21173729) × cos(0.56023085) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.847132464104873 × 6371000     		du = 258.682088917975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56027145)-sin(0.56023085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847110889306722-0.847132464104873)×R²
    abs(-0.21173729--0.21178522)×2.1574798151569e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.1574798151569e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.1574798151569e-05×40589641000000     		ar = 66910.5296515722m²