Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61108 / 53476
↖ ↑ ↗
← N 31.419288°
W 12.161865°		 ← 260.64 m → N 31.419288°
W 12.159118°		 →
↑
260.64 m
↓
↑
260.64 m
↓
N 31.416944°
W 12.161865°		 ← 260.65 m →
67 934 m²		 N 31.416944°
W 12.159118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466220855712891 y=0.407993316650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466220855712891 × 217)
    floor (0.466220855712891 × 131072)
    floor (61108.5)     		tx = 61108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407993316650391 × 217)
    floor (0.407993316650391 × 131072)
    floor (53476.5)     		ty = 53476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61108 / 53476 ti = "17/61108/53476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61108/53476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61108 ÷ 217
    61108 ÷ 131072     		x = 0.466217041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53476 ÷ 217
    53476 ÷ 131072     		y = 0.407989501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466217041015625 × 2 - 1) × π
    -0.06756591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21226459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.407989501953125 × 2 - 1) × π
    0.18402099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.578119009417877
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21226459} λ = -0.21226459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.578119009417877))-π/2
    2×atan(1.78268206691651)-π/2
    2×1.05958317659119-π/2
    2.11916635318238-1.57079632675     		φ = 0.54837003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21226459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.161865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54837003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.419288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61108 KachelY 53476 -0.21226459 0.54837003 -12.161865 31.419288
    Oben rechts KachelX + 1 61109 KachelY 53476 -0.21221665 0.54837003 -12.159118 31.419288
    Unten links KachelX 61108 KachelY + 1 53477 -0.21226459 0.54832912 -12.161865 31.416944
    Unten rechts KachelX + 1 61109 KachelY + 1 53477 -0.21221665 0.54832912 -12.159118 31.416944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54837003-0.54832912) × R
    4.09099999999496e-05 × 6371000     		dl = 260.637609999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54837003-0.54832912) × R
    4.09099999999496e-05 × 6371000     		dr = 260.637609999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21226459--0.21221665) × cos(0.54837003) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.853375353690533 × 6371000     		do = 260.642798898673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21226459--0.21221665) × cos(0.54832912) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.853396679234464 × 6371000     		du = 260.649312268709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54837003)-sin(0.54832912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853375353690533-0.853396679234464)×R²
    abs(-0.21221665--0.21226459)×2.13255439307503e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13255439307503e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13255439307503e-05×40589641000000     		ar = 67934.1649926039m²