Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 60992 / 53567
↖ ↑ ↗
← N 31.205754°
W 12.480469°		 ← 261.23 m → N 31.205754°
W 12.477722°		 →
↑
261.27 m
↓
↑
261.27 m
↓
N 31.203405°
W 12.480469°		 ← 261.24 m →
68 255 m²		 N 31.203405°
W 12.477722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 60992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.465335845947266 y=0.408687591552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.465335845947266 × 217)
    floor (0.465335845947266 × 131072)
    floor (60992.5)     		tx = 60992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.408687591552734 × 217)
    floor (0.408687591552734 × 131072)
    floor (53567.5)     		ty = 53567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 60992 / 53567 ti = "17/60992/53567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/60992/53567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 60992 ÷ 217
    60992 ÷ 131072     		x = 0.46533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53567 ÷ 217
    53567 ÷ 131072     		y = 0.408683776855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46533203125 × 2 - 1) × π
    -0.0693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21782527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.408683776855469 × 2 - 1) × π
    0.182632446289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.573756751552452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21782527} λ = -0.21782527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.573756751552452))-π/2
    2×atan(1.77492248500211)-π/2
    2×1.0577197412666-π/2
    2.11543948253319-1.57079632675     		φ = 0.54464316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21782527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.54464316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.205754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 60992 KachelY 53567 -0.21782527 0.54464316 -12.480469 31.205754
    Oben rechts KachelX + 1 60993 KachelY 53567 -0.21777733 0.54464316 -12.477722 31.205754
    Unten links KachelX 60992 KachelY + 1 53568 -0.21782527 0.54460215 -12.480469 31.203405
    Unten rechts KachelX + 1 60993 KachelY + 1 53568 -0.21777733 0.54460215 -12.477722 31.203405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.54464316-0.54460215) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dl = 261.274710000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.54464316-0.54460215) × R
    4.1010000000008e-05 × 6371000     		dr = 261.274710000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21782527--0.21777733) × cos(0.54464316) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.855312228644296 × 6371000     		do = 261.234370364713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21782527--0.21777733) × cos(0.54460215) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.855333475735648 × 6371000     		du = 261.240859773312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.54464316)-sin(0.54460215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855312228644296-0.855333475735648)×R²
    abs(-0.21777733--0.21782527)×2.12470913516505e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12470913516505e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12470913516505e-05×40589641000000     		ar = 68254.7821278151m²